渐近连续

渐近连续是从连续性角度，为进一步刻画可测函数性质而引进的概念。设f(x)是闭区间[a,b]上的实函数，x0∈[a,b]。如果存在(L)可测集E⊂[a,b]，使得x0是E的全密点，f(x)在E上以x0为连续点，则f(x)在点x0处称为渐近连续的。

定义渐近连续是从连续性角度，为进一步刻画可测函数性质而引进的概念。

设f(x)是闭区间[a,b]上的实函数，x0∈[a,b]。如果存在(L)可测集E⊂[a,b]，使得x0是E的全密点，f(x)在E上以x0为连续点，则f(x)在点x0处称为渐近连续的。

对[a,b]上的几乎处处有限的实函数f(x)，它在[a,b]上可测的充分必要条件是f(x)在[a,b]上几乎处处渐近连续。

实例小孩身高的变化是个渐近连续的过程，身高h随着时间f的变化而变化，若时间间隔较长，身高的变化明显，但若时间间隔短，如1小时、半小时，小孩身高的变化就非常小；也就是说．从某一时刻t0算起，当时间t的改变量△t很小时，身高的改变量△h也很小，当△t→0时，△h→0。

可以想象：小孩的身高不会发生“突变”现象，不会在某一t0时刻身高从某一高度突然变到另一高度（如从1m窜到1.5m高度），这种现象反映在几何上，就是曲线h=h(t)在t=t0处有没有断裂，在t0处渐近连续变化的曲线是不断裂的。1

可测函数设f是定义在可测集E上的实函数。如果对每一个实数，集E[f>a]恒可测（勒贝格可测），则称f是定义在 E上的（勒贝格）可测函数。

设(X,F)为一可测空间，E是一个可测集。f: E→R*为定义在E上的函数。若对任意实数a，总有{x∈E: f(x)