可数基数

可数基数(countable cardinal number)是一种无穷基数，指可数集的基数即自然数集合ω={1，2，…，n，…}的基数，记为N0（此处“N”代表犹太人使用的希伯莱文的第一个字母aleph，实际写法并不是大写英文字母N，见正文），N0是一个最小的超限基数，自然数集合ω本身是一序数，并且是初始序数，因此按基数的定义，ω就是自然数集的基数，即N0=ω，由于ω是最小的无穷序数，故记为ω0，与自然数集等势的集合很多，例如整数集Z、有理数集Q、平面上或空间中的有理点集等，所以|Z|=|Q|=N0=ω01。

基本介绍定义1 (1) 若存在φ:A↦B,对任意x∈A,存在唯一的y∈B,使得y=φ(x);反之,若存在ψ:B↦A,对任意x∈B,存在唯一的y∈A,使得y= ψ(x),则称A,B是一一对应的(one-to-one)；

(2)若两个集A,B是一一对应的,则称A, B是对等的(equipotent),即A,B有相同基数，记为cardA = cardB。

例如，正奇数集O= {1,3,... ,2n-1,..}和正偶数集E= {2,4,...,2n,..}之间可建立一一对应的关系：

φ:O↦E

使得：

φ(2n- 1)= 2n，

故O和E有相同基数。

又如,O= {1,3,... ,2n-1,...}和正整数集之间可建立一一对应的关系:

φ:O↦Z+

使得：

φ(2n- 1)=n

故它们是对等的，这是局部与整体对等的例子。

定义2 (1) 正整数集的基数称为可数基数(countable cardinal),记为

cardZ+= 。

(2)若集A与正整数集是对等的，则称其为可数的，记为

cardA= ，

式中: 为犹太人使用的希伯莱文的第一个字母，读做aleph2。

相关性质可数集的特征是其全部元可排成序列2。

下面介绍可数集的几个重要性质。

定理1 任意无限集都有可数子集。

证 设M是无限集，取e1∈M.由于M的无限性，M\{e1}是非空的,故可取e2∈M\{e1}.

一般地，设已选出{e1,e2,... ,en}.还由于M的无限性，M\{e1,e2,... ,en}是非空的。继续选en+1∈M \{e1,e2,... ,en}.

由归纳法得可数子集{e1,e2,... ,en}。证完。

定理1说明可数集是最小的无限集。

定理2 可数集的无限子集是可数的.

证 设M是可数集，则cardM=.设M1是M的无限子集.由定理1可知，M1有可数子集M2,即cardM2 = ,所以cardM1=，证完。

定理3 有限多个可数集的并是可数的2。

证 设有可数集A1,A2,...,Ak,其中

于是，可将可数集A1,A2,...,Ak并的元排列成序列:

它可与正整数集一一对应， 故是可数的。证完。

进一步还有下述结果。

定理4可数个可数集的并是可数的。

证设有可数集A1,A2,...,An,...,其中并按下标之和的顺序来排列(下标之和是相同的元按第一个下标来排列),于是，

可将A1,A2,...,An,...并的元排成序列

它可与正整数集一一对应，故是可数的。证完2。

例题解析下面利用上述定理来证明有理数的可数性。

【例1】有理数集(set of rational numbers) Q是可数的。

事实上，设

则集An是可数的，而正有理数集,故由上述定理可知，正有理数集是可数的。

同理，负有理数集Q-是可数的，故有理数集是可数的2。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学