纽曼代数

纽曼代数(Newman algebra)是较布尔代数更为广泛的代数类，它是纽曼(M.H.A.Newman)于1941-1942年对布尔代数和布尔环的一个卓越综合。设A是具有两个二元运算的代数系，对任意a，b，c∈A，若满足下列条件：N1：a(b+c)=ab+ac;N1′：(a+b)c=ac+bc;N2：存在1使a1=a;N3：存在0使a+0=0+a=a;N4：每一个a至少对应一个a′，使得aa′=0，且a+a′=1;则称A为纽曼代数。布尔代数和有单位元的布尔环(不一定是结合环)都是纽曼代数，每一个纽曼代数都是一个布尔代数和一个有单位元的布尔环(不一定是结合环)的直积1。

基本介绍纽曼代数是一种推广的布尔代数，它放弃了交换性与结合性的公理，在纽曼代数中，有一个关于两个运算+与·封闭的集N.

设〈A；+，·，′〉为代数系统，其运算系统如下：

1.对任何a，b，c∈N，有

a·(b+c)=(a·b)+(a·c)，

(a+b)·c=(a·c)+(b·c)；

2.存在一个元素1∈N，使对一切a∈N，有

a·1=a；

3.存在一个元素0∈N，使得对一切a∈N，有

a+0=a=0+a=a；

4.对每个a∈N，至少有一个补a′∈N与之对应，使得a·a′=0，a+a′=1。

则称〈A；+，·，′〉为纽曼代数。

如果在纽曼代数中定义2=1+1，且称2的左倍数a·2为偶元素，那么可以证明：〈A，+，·，′，0，2〉构成一个布尔代数，其中A为全体偶元素，纽曼代数是纽曼(M.H.A.Newman)于1941年提出的。

相关性质及证明纽曼代数是布尔代数的推广。为方便,在实际计算中往往省略符号2。

若a∈A,则aa=a、(a')'=a.

因为

aa = aa+0= aa+aa'=a(a+a')=a·1=a

而

(a')'=0+ (a')'(a')'=a'(a')'+(a' )'(a')'=[a' + (a' )'](a' )'

=1·(a')'=(a+a')(a')'=a(a')'+0=0+a(a' )'

=aa'+a(a')'=a[a'+(a')']=a·1=a

所以aa=a、(a')'=a。也可推出1·a=a,由于

1·a=(a+a' )a=aa+a'a=a+0=a

容易证明补元是唯一的。 设a有两个补元a'、a*,则

a*=a*·1=a*(a+a')=a*a'+a*a=a*a'+0=a*a'+aa'

=(a*+a)a'=1·a'=a'

从1+0=1及补元唯一性,得0=1'，0'=1。

对所有a应有a·0=0·a=0。这是由于

0=aa' =a(a'+0)=aa'+a·0=0+a·0=a·0

又

0=bb'=(0+b)b'-0·b'+bb'=0·b'+0=0·b'

若对任意a,取b=a' ,则b'=a,导出0·a=0.

如果定义2=1十1,那么

2+2=2·1+2·1=2·(1+1)=2·2=2

称2的左倍数a2为偶元素.当且仅当a+a=a吋元素a是偶的,因为若a=b2，则a+a=b(2+2)= b2。又因a+a=a,推导出a=a+a=a·1+a·1=a·(1+1)=a2,于是a为偶元素。这表明偶元素的加法是幂等的2。

任意的偶元素的任何左倍数或右倍数是偶的,由于当a是偶的时可得a=a+a,有

ab=(a+a)b=ab+ab

表明ab为偶的,而

ba=b(a+a)=ba+ba

表明ba为偶的。

注意等式(a+b)2=a2+b2、(ab)2= (a2)(b2)、(a2)2=a2成立。所以偶元素集合对加法、乘法运算是封闭的。从分配性即得(a+b)2=a2+b2。另外，

(a2)(62)=(a+a)(b+b)=(a+a)b+(a+a)b

=(ab+ab)+ (ab+ab)= ab2 +ab2=ab2

此外,当a是偶元素时

a+1 =(a+1)·1=(a+1)(a+a' )= (aa+a)+(aa'+a' )

=(a+a)+(0+a' )=a+a'=1

同理1+a=1。应有

a2+2=a2+1·2=(a+1)2=1·2=2

类似有2+a2=2。

当认为纽曼代数的加法、乘法相当于格定义的代数系统中的加法、乘法运算时,偶元素就构成了一个以2为单位元素的分配格,在此格中a'2为a2的补元素;因为a2+a'2=(a+a')2=1·2=2、(a2)(a'2)=(aa')2=0,且2的补元为0,于是偶元素构成了有补分配格,即布尔代数2。

当然纽曼代数的加法是可交换的、可结合的。若a + b=0,则a=b并有b+a=0。事实上,

a=a(b'+b)=ab'+ab= (ab'+bb')+ab

=(a+b)b'+ab=0·b'+ab=ab

同理

b=(a'+a)b=(a'a+a'b)+ab=ab

即 a=b、b+a=a+b=0。:

对任意a、b,设c=(a+ b)'、d=(b+a)'、则

a+b=(a+b)·1=(a+b)(d+d')= (a+b)d+c'd'

但是0= (b+a)d=bd +ad ,利用上面结论知

(a+b)d= ad十bd=0

也就有 a+b=c'd'。

同样:

b+a=1·(b+a)=(c+c' )(b+a)=c(b+a)+c'd'

又0=c(a+b)=ca+cb,推导出(a+b)c=ac+bc=0,得到b+a=c'd'。即

a+b=b+a

关于纽曼代数加法的结合性分三步进行。先证明结合性特例,在毎步中应用的方法是通过证明al=ar、a'l=a'r而建立等式l=r。因为2

l=(a'+a)l=a'l+al=a'r+ar=(a'+a)r=r

(1) 1+(1+a)=(1+1)+a

令l=1+(1+a)、r=(1+1)+a,

al=a+a(1+a)=a+(a+a)=(a+a)+a=ar

又

a'l=a'+a'(1+a)=a'+a'=a'r

(2) 1+(a+b)=(1+a)+b

令l=1+(a+b)、r=(1+a)+b

al =a+a(a+b)=a+(a+ab)=a[1+(1+b)]

=a[(1+1)+b]= (a+a)+ab=ar

又

a'l=a'+a'(a+b)=a'+a'b=a'r

(3)令l=a+(b+c)、r=(a+b)+c,

al=a[a+(b+c)]=a+a(b+c)=a[1+(b+c)]

=a[(1+b)+c]= ar

又

a'l=a'(b+c)=a'[(a+b)+c]=a'r

而l=r,故2

a+(b+c)=(a+b)+c.

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学