三角代换

三角代换是指利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题。

基本内容三角代换是利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，使题目得以突破的解题方法。实质是换元思想，体现了“三角”是数学中的工具的特征，恰当地利用三角代换有助于培养学生联想和类比的能力。1

常见设元类型在许多三角问题的求解中，合理的运用代换方法解题，将会使求解过程简单化，甚至使一些很难求的问题快速求解。常见的三角代换类型如下：

1.如果条件中有 ，则可设 ， ；

2.如果条件中有 或者 ，则可设 ， ；

3.如果条件中有 ，则可设 ；

4.如果条件中有 ，则可设 ；

5.如果条件中有，则可设 且；

作用解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程。而“三角代换法”则是实现这种转化的重要手段之一。

它的策略思想是：根据题目的结构特征，引进三角代换，利用三角知识解题的一种方法。用这种方法解某些数学题，往往能化繁为简，变难为易，得到简捷合理的解题途径。2

举例例1.已知，求的最小值。

解：设，，。

则；

所以原式最小值为7。

例2.求的值域。

解：设，；

则，，所以，即。

教学应用在三角代换的数学教学中可以采用“探究法”。“探究法”的精髓在于以学生为主角，使他们由被动地接受知识转变为知识的探索者。通过亲自动手，积极思考，热烈讨论，探索知识，学生能更加深入理解知识的内涵，并培养观察力、思维能力、动手能力、归纳能力、语言表达能力和创造能力等。“探究式教学法 ”是指在老师的指导下 ，学生通过具体的操作，亲自尝试后，经过积极思考和讨论，找到知识的规律，总结出结论，学会新知，并发展思维、培养能力的综合教学方法。通过引入三角代换，将所给问题转化为含有角的问题，然后运用三角函数的变换和性质进行求解。三角代换法是一种实用有效的解题方法，同时具有技巧性强的特征，从中拓展学生思维、提高学生独立思考的能力。3

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学