辛向量场

在数学与物理学中，辛向量场（symplectic vector field）是流保持辛形式的向量场。

简介如果 是一个辛形式，则如果向量场 的流保持辛结构，则称为一个辛向量场。换句话说，李导数为零：

或者，一个向量场是辛的如果它与辛形式内乘是闭的（内乘给出从向量场到1-形式的一个映射，因辛形式的非退化性这是一个同构）。两个定义的等价性从辛形式的闭性与李导数用外导数表示的嘉当公式推出。

如果一个向量场与辛形式的内乘是恰当的（特别地是闭的），称为哈密顿向量场。如果第一德拉姆上同调群 是平凡的，故所有闭形式是恰当的，所以辛相邻场是哈密顿的。这就是说：“一个辛向量场是哈密顿的之阻碍属于 。”特别地，单连通空间上的辛向量场是哈密顿的。

两个辛向量场的李括号是哈密顿的，从而辛向量集合与哈密顿向量场集合各自形成一个李代数。1

辛形式数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式ω 的向量空间V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。

确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：V×V→R满足：

斜对称：ω(u,v) = −ω(v,u)，对所有u,v∈V成立；

非退化：如果 ω(u,v) = 0 对所有v∈V成立，那么u= 0 。

取定一组基，ω 能表示为一个矩阵。以上两个条件表明这个矩阵必须是斜对称非奇异矩阵。这不同于下面将介绍的辛矩阵，辛矩阵表示空间的一个辛变换。

如果V是有限维的那么维数必须为偶数，因为每个奇数阶斜对称矩阵的行列式为 0。

非退化斜对称双线性形式和非退化“对称”双线性形式，比如欧几里得向量空间的内积，的表现非常不同。欧几里得内积g，对任何非零向量v，均有g(v,v) > 0 成立；但是一个辛形式 ω 满足 ω(v,v) = 0 。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学