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科技工作者之家 2020-11-17
数学与物理学中,特别是在微分几何与广义相对论中,扭曲几何(warped geometry)是度规张量。
简介扭曲几何写成如下形式的黎曼流形或洛伦兹流形:
注意到几何可以分解成y几何与x几何的卡氏积(Cartesian product),不过x部分受到扭曲,亦即它的大小尺度受到了一个y坐标的标量函数{\displaystyle f(y)}的调整。基于此理由,扭曲几何的度规常称为“扭曲积度规”(warped product metric)。
扭曲几何很有用处,以其可以运用分离变数法来解与它们有关的偏微分方程。1
例子许多爱因斯坦场方程的基本解是为扭曲几何,比如史瓦西解以及罗伯逊-沃尔克模型。
此外,扭曲几何是弦论中蓝道尔-桑壮模型(Randall-Sundrum models)的基石。
相关内容度量张量在黎曼几何里面,度量张量(英语:Metric tensor)又叫黎曼度量,物理学译为度规张量,是指一用来衡量度量空间中距离,面积及角度的二阶张量。
当选定一个局部坐标系统,度量张量为二阶张量一般表示为,也可以用矩阵表示,记作为G或g。而 记号传统地表示度量张量的协变分量(亦为“矩阵元素”)。2
到 的弧线长度定义如下,其中参数定为t,t由a到b:
两个切矢量的夹角 ,设矢量 和,定义为:
若 为 到 的局部微分同胚,其诱导出的度量张量的矩阵形式 ,由以下方程计算得出:
j表示 的雅可比矩阵,它的转置为 。著名例子有 之间从极坐标 到直角坐标 的坐标变换,在这例子里有:
这映射的雅可比矩阵为
所以
这跟微积分里极坐标的黎曼度量, ,一致。
本词条内容贡献者为:
胡建平 - 副教授 - 西北工业大学