合成平均

合成平均是一种特殊平均，设a>b>0，a0=a，b0=b，an，bn(n=1，2，…)分别是an-1与bn-1的算术平均与调和平均，则limn→∞an=limn→∞bn=√(ab)，这说明几何平均可以通过算术平均与调和平均构成的数列得到，这种思想的一般化就是合成平均1。

基本介绍合成平均是一种特殊平均，设a>b>0，a0=a，b0=b，an，bn(n=1，2，…)分别是an-1与bn-1的算术平均与调和平均，则

这说明几何平均可以通过算术平均与调和平均构成的数列得到。这种思想的一般化就是合成平均。

设a>b>0，M(a，b)，N(a，b)表示a，b的某两种平均，定义a0=a，b0=b，an=M(an-1，bn-1)，bn=N(an-1，bn-1)，若

与

存在且相等，则这个极限值记为MN(a，b)，若

MN(a，a)=a，MN(a，b)=MN(b，a)，

则MN(a，b)称为a，b关于M与N的合成平均。前述结果可表示为G=AH，其中G，A，H分别表示几何平均、算术平均、调和平均，对任意实数p，q，幂平均Mp与Mq的合成平均MpMq总存在，且MpMq=Mr当且仅当p+q=r=0。合成平均可交换，即1

MN=NM.

举例说明算术-几何平均是一种特殊平均，即算术平均与几何平均的合成平均，设a0=a>b=b0>0，an=1/2(an-1+bn-1)，bn=√(an-1·bn-1)，则an和bn有共同的极限，这个极限称为a，b的算术-几何平均，一般记为AMG(a，b)，这是由高斯(C.F.Gauss)命名的1。

设a和b是两个正数，定义数列和如下

这里。由算术几何平均不等式，明显地，．根据数学归纳法容易证明数列是递减的，而是递增的，等价于

清楚地，

进而得到

因此，这两个数列有共同的极限，即

我们称该极限为a和b的算术-几何平均AGM(a，b)，也有一些文献用AG(a，b)表示这个平均.。Lagrange和Gauss首先研究了这个平均，但是这个平均真正的重要性以及与椭圆积分的联系属于Gauss，有时也称这个平均为Gauss算术-几何平均2。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学