巴尼斯G函数

巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。

定义巴尼斯G函数是超级阶乘函数在复数上的扩展。

它与Γ函数、K函数以及格莱舍常数（Glaisher constant）有关。

巴尼斯G函数以数学家欧尼斯特·巴尼斯（Ernest William Barnes）的名字命名。

巴尼斯G函数可以通用魏尔施特拉斯分解定理的形式定义为1：

其中，γ表示欧拉-马歇罗尼常数。

差分方程、函数方程与特殊值巴尼斯G函数满足差分方程

特殊地，G(1)=1。

从此方程可推出G取整数自变量时有：

因此，

其中， 表示Γ函数， 表示K函数。

另外，在满足条件 时，差分方程唯一确定一个G函数。.

由G函数的差分方程和Γ函数的函数方程可以得到（由Hermann Kinkelin提出）：

乘法公式与Γ函数一样，G函数也有其乘法公式：

其中K是一个常数，定义为：

其中 表示黎曼ζ函数的导函数， A则表示为格莱舍常数。

可渐近展开为（由巴尼斯提出）：

其中 为伯努利数，A 为格莱舍常数。（需要注意的是，在巴尼斯的时代，伯努利数习惯写成。）

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学