音乐中的数学变换

数学与音乐在很多方面有紧密的关系，数学的计算决定了音乐中的音律，从五音音律发展到了七音音律，并且一直沿用至今。乐器的制作离不开数学中的平行线公理，这个公理可适用于各种弦乐器的测音。20世纪下半叶后，美国音乐理论家大卫·列文以数学领域中的“集合理论”和“群理论”为基础，逐步创立了“广义音程与变换”理论。它着眼于音乐元素家族中音高、音级、时值、时间点、音色等及其联合组成的“空间”，承前启后，成为研究音乐中数学问题的典范。古往今来，音乐中的数学奥秘一直激发着人类的好奇心与探索力。

我们知道在钢琴的键盘上，从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程（如图一）。其中共包括13个键，有8个白键和5个黑键 ，而5个黑键分成2组 ，一组有2个黑键 ，一组有3个黑键。2、3、5、8、13 恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数。

图中的八度音程被黑键和白键分成12个半音，并且后一个C键发出乐音的振动次数(即频率) 是前一个C键振动次数的2倍。而十二平均律正描述了音乐中的等比数列。我们容易求出分割比x，显然x满足x12= 2 ，由此得出x是个无理数，大约是0. 1106。于是我们说某个半音的音高是那个音音高的0.1106 倍，而全音的音高是那个音的音高 0.11062 倍。在吉它中也存在着同样的等比数列。

公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯及其学派就提出五度相生律。它以一音为基音， 然后将频率比为3：2的纯五度音程作为生律要素，分别向基音两侧同时生音。以C为基音，按照五度相生原理向上可生出G、D、A、E、B，向下可生出F、降B、降E、降A、降D、降G。

从C向升号调进行，前后两个调相差一个升号，主音相差五度，从琴键来看即相差7个半音。所以对前一个主音加7就能获得下一个调的主音。反之，从C逆时针向降号调进行，前后两个调相差一个降号，主音相差四度，从琴键来看相差5个半音。这种结论便产生了数论函数，运用这些函数可以通过一部音乐作品起始处升降号的数量非常精确直观地推导出该部作品调性即主音。如果n是调号中升号的数目，则主音由下式给定：

如果n是调号中降号的个数，则主音由下式给定：

我们知道D大调必须在调号中有两个升调号，

即 。

音乐和数学的结合是一种感性和理性的对话，如果我们能将这种关系加以完善和利用，一定可以演绎出一种无与伦比的“完美境界”。而实际上，现在也有许多作曲家已经尝试用数学计算代替作曲。他们将作曲的过程公式化，把音程、节奏等进行编程，用计算机进行筛选，再将其结果编写成乐曲并演奏出来。

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