极小

极小，亦称为最小，最小值。在数学分析中，在给定范围内（相对极值）或函数的整个域（全局或绝对极值），函数的最大值和最小值被统称为极值（极数）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位提出函数的最大值和最小值的数学家之一。

寻找函数极大值和极小值找到全局极大值和极小值是数学优化的目标。如果函数在闭合间隔上是连续的，则通过极值定理存在全局极大值和极小值。此外，全局极大值（或极小值）必须是域内部的局部极大值（或极小值），或者必须位于域的边界上。因此，找到全局极大值（或极小值）的方法是查看内部的所有局部极大值（或极小值），并且还查看边界上的点的极大值（或极小值），并且取极大值或极小）一个。1

费马定理可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在临界点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部极大值还是局部极小值，给出足够的可区分性。

对于分段定义的任何功能，通过分别查找每个零件的极大值（或极小值），然后查看哪一个是极大（或极小），找到极大值（或极小值）。

关于集也可以为集合定义极大值和极小值。一般来说，如果有序集S具有极大的元素m，则m是极大元素。此外，如果S是有序集T的子集，并且m是相对于由T诱导的阶数的S的极大元素，则m是T中S的极小上限。类似的结果适用于极小元素，极小元素和极大的下限。

在一般的部分顺序的情况下，极小元素（小于所有其他元素）不应该与极小元素混淆（没有更小）。同样，部分有序集合（poset）的极大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的极大元素m是A的元素，使得如果m≤b（对于任何b在A）然后m = b。元素的极小元素或极大元素是唯一的，但是poset可以具有几个极小或极大元素。如果一个poset有多个极大元素，那么这些元素将不会相互比较。2

在完全有序的集合或链中，所有元素都是相互可比的，所以这样的集合可以具有至多一个极小元素和极多一个极大元素。然后，由于相互的可比性，极小元素也将是极小元素，极大元素也将是极大的元素。因此，在一个完全有序的集合中，我们可以简单地使用极小和极大值。如果链条是有限的，那么它总是具有极大值和极小值。如果一个链是无限的，那么它不需要极大或极小。例如，自然数的集合没有极大值，尽管它具有极小值。如果无限链S有界，则集合的闭包Cl（S）偶尔具有极小值和极大值，在这种情况下，它们分别称为集合S的极大下限和极小上限。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学