平面仿射坐标变换学术资讯

平面仿射坐标变换是一种坐标变换，指平面上任一点对于两个仿射坐标系的坐标之间的对应关系。平面上点的仿射坐标变换公式和平面上向量的仿射坐标变换公式。

基本介绍设任一点M在仿射标架{O;e1，e2}中的坐标为(x，y)，在仿射标架{O′;e1′，e2′}中的坐标为(x′，y′)，若 =x0e1+y0e2，e′s=ase1+bse2(s=1，2)，则从 =xe1+ye2， =x′e′1+y′e′2和 =x0e1+y0e2+x′(a1e1+b1e1)+y′(a2e1+b2e2)可得下列仿射坐标变换的公式

当两个仿射标架中有一个是直角标架时可得仿射坐标与直角坐标的关系式，而当两个仿射标架都是直角标架时又可得直角坐标变换的公式1。

平面仿射坐标系在平面解析几何中，通过在平面上建立直角坐标系或极坐标系，把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的图形与二元方程对应起来，从而用代数方法来研究平面几何问题。需要指出的是，建立平面上的点与一对有次序的数之间的对应关系并不限于直角坐标系或极坐标系。还有另一种更为一般的坐标系——仿射坐标系。

在平面上取定一点O和两个以点O为起点的不共线向量e₁，e₂，称为平面上的一个仿射坐标系，记作{0；e₁，e₂}。其中O称为原点，e₁，e₂称为基向量(简称基)或坐标向量。若e₁，e₂符合右手规则，则称此坐标系为右手系，否则称为左手系。如不特别声明，一般指右手系。过O点且分别平行于e₁，e₂的有向直线(它的正向与基向量的方向相同)称为坐标轴。共有两条坐标轴，依次称为x轴和Y轴。两条坐标轴分平面为四部分，依次称为第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ象限(图1)。

若仿射坐标系{0；e₁，e₂}的基向量e₁，e₂互相垂直，且|e₁|=|e₂|=1，就成为平面直角坐标系。可见，平面直角坐标系是平面仿射坐标系的特殊情形2。

平面上点的仿射坐标在平面仿射坐标系{0；e₁，e₂}中给定一点M，就确定唯一的向量，称为点M的向径。向径可唯一地表示成

如图2所示。由此可见，向径与有序数组(x，y)之间建立了一一对应关系。有序数组(x，y)称为向径在仿射坐标系{0；e₁，e₂}下的坐标，也称为点M在仿射坐标系{0；e₁，e₂}下的坐标，记作M(x，y}2。

点的仿射坐标变换公式设在平面上给定了两个仿射坐标系：{O；e₁，e₂}和{O'；e'₁，e'₂}，分别记作σ和σ'，即σ={O；e₁，e₂}，σ'={O'；e'₁，e'₂}。设坐标系σ'的原点O'在坐标系σ下的坐标为，坐标系σ'的基向量e'₁，e'₂在坐标系σ下的坐标分别为(a₁₁，a₂₁)，(a₁₂，a₂₂)。现在求点M在坐标系σ下的坐标(x，y)与它在坐标系σ'下的坐标(x'，y')之间的关系式。由假设有2