离散对数

在整数中，离散对数（英语：Discrete logarithm）是一种基于同余运算和原根的一种对数运算。

历史普遍大家都认为公钥密码体制是迪菲(W.Diffie)和赫尔曼(E.Hellman)发明的1，可鲜为人知的是，默克勒(R.C.Merkle)甚至在他俩之前的1975年就提出了类似的思想，尽管其文章是于1978年发表的，但投稿比较早。因此，公钥密码体制的创始人应该是他们三人。 当然，他们三人只是提出了一种关于公钥密码体制与数字签名的思想，而没有真正实现。不过，他们确实是实现了一种体现公钥密码体制思想、基于离散对数问题的、在不安全的通道上进行密钥形成与交换的新技术。

介绍在整数中，离散对数（英语：Discrete logarithm）是一种基于同余运算和原根的一种对数运算。而在实数中对数的定义 logba是指对于给定的a和b，有一个数x，使得bx=a。相同地在任何群G中可为所有整数k定义一个幂数为bx，而离散对数logba是指使得bx=a的整数k。2

离散对数在一些特殊情况下可以快速计算。然而，通常没有具非常效率的方法来计算它们。公钥密码学中几个重要算法的基础，是假设寻找离散对数的问题解，在仔细选择过的群中，并不存在有效率的求解算法。

定义当模m有原根时，设l为模m的一个原根，则当 时：

此处的 为x以整数l为底，模 时的离散对数值。

性质离散对数和一般的对数有着相类似的性质：

实例A和B先约定公共的q=2739·(7149-1)/6+1和g=7。

A选随机数a，并计算7a(modq)，且将其送给B（注：a不能向外泄漏）；

B将收到7a=127402180119973946824269244334322849749382042586931621654557735290322914679095998681860978813046&595166455458144280588076766033781。

B选随机数b，并计算7b(modq)，且将其送给A（注：b不能向外泄漏）；

A将收到7b=180162285287453124447828348367998950159670&466953466973130251&2173405995377205847595817691062538069210165184866236213793&4026803049。

此时A和B都能计算出密钥7ab(modq)，但别人不太容易算出，因为别人不知道a和b。有兴趣的读者不妨将此作为一个练习，试着计算出7ab(modq)的值。

本词条内容贡献者为:

李嘉骞 - 博士 - 同济大学