安内定理

安内定理是关于共点线的一个定理。若一圆周上有四点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西姆森线，则这些西姆森线交于一点。

简介安内定理是关于共点线的一个定理。

若一圆周上有四点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西姆森线，则这些西姆森线交于一点（如图）。

西姆森线过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线，此线常称为西姆森线或译西摩松线（Simson line）。1

证明已知ΔABC外接圆上有一点P，过P向三边所在直线作垂线，垂足分别是X、Y、Z，求证X、Y、Z三点共线。

证明：如图，连接PB、PC，

因为∠AYP=∠BXP=90°，

所以A、Y、P、X四点共圆，

所以∠AYX=∠APX，

同理C、Z、Y、P四点也共圆。

所以∠ZYC=∠CPZ。

在ΔAXP和ΔCZP中，∠BXP=90°=∠CZP，∠PAX=∠PCZ

所以∠APX=∠ZPC，

所以∠AYX=∠ZYC。

因为∠AYX+∠XYC=180°，

所以∠ZYC+∠XYC=180°，

所以X、Y、Z三点在同一条直线上。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学