变分法基本引理

在数学里，特别是在变分法里，变分法基本引理（fundamental lemma of calculus of variations）是一种专门用来变换问题表述的引理，可以将问题从弱版表述（weak formulation）（变分形式）改变为强版表述（微分形式）。12

叙述 代表 阶导数连续（ 阶光滑）的函数空间， 代表无限光滑的函数空间。

变分法基本引理：

设

若任意 皆满足下列两式

则 .

证明设 且

因为只要存在一个不满足 的 ，就可以证明 ，因此我们只须证明其中一个特例。

令 满足下列两个条件：

并且令.

由可得到

因为在是正值，所以必须恒等于 0 ，与假设矛盾。

故。

应用这引理可用来证明泛函

的极值是欧拉-拉格朗日方程式

的弱解。

欧拉-拉格朗日方程式在经典力学和微分几何占有重要的角色。2

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学