二元高次方程组

二元高次方程组(system of binary equations of higher degree)是一种代数方程组，若两个代数方程f(x，y)=0，g(x，y)=0组成的方程组中的f(x，y)，g(x，y)是复系数二元多项式，其中至少有一个为高次的，则称次方程组为二元高次方程组。

基本介绍若代数方程组

中的f(x，y)，g(x，y)是复系数二元多项式，其中至少有一个为高次的，则称(1)为二元高次方程组1。

二元高次方程组的解法解方程组(1)的一般方法是把f(x，y)与g(x，y)看成x的多项式，设

式中ai(y)，bj(y)是y的复系数多项式，i=0，1，…，n;j=0，1，…，m.设结式Rx(f，g)为

则m+n阶行列式Rx(f，g)是y的复系数多项式，若(x0，y0)是方程组(1)的复数解，则y0是Rx(f，g)的复根；反之，若y0是Rx(f，g)的复根，则a0(y0)=b0(y0)=0，或者存在复数x0，使(x0，y0)是方程组(1)的复数解(参见“结式”).，因此，为了解方程组(1)，可先求高次方程Rx(f，g)=0的全部根，再把Rx(f，g)=0的每个根代入方程组(1)，求x的值，这样就得到方程组(1)的全部解.对于多个未知数的高次方程组，可用与上述类似方法求解1。

相关定理引理 设，是数域P上的两个非零多项式，不全为零，则在中有非常数的公因式，使得这里。

定理1设则，g(x)在P[x]中有非常数的公因式或全为02。

定理2 若是的一个复数解，则y0是Rx(f，g)的一个根，反之，若y0是Rx(f，g)的一个复根，那么，或者存在一个复数使是上方程组的一个解。

欲求二元高次方程组：

的解，可先求关于y的一元多项式Rx(f，g)在复数域内的根，设y0为其任意一个根，然后再求与的公共根，于是一切数组就是方程组(1)的全部解，这就是说方程组(1)的求解，完全转化成了求一元多项式Rx(f，g)与d(x)在复数域内的全部根，可惜的是，由于求一元多项式的复根并不总能实现，因此在理论上说有了解二元高次方程组的方法，但从实际上来讲，它的解并不一定都能求得出来，另外，以上都是把写成关于x的多项式，称消去x而求关于y的一元多项式Rx(f，g)的根，当然，x与y是对称的，我们也可以把写成关于y的多项式，即消去y而求关于x的一元多项式Ry(f，g)的根2。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学