四次不定方程

四次不定方程是一类著名的不定方程。关于四次不定方程整数解的研究，是个难度较大的数论专题。四次不定方程的结果仍然较多地是二元和三元的情形，即使是二元的情形，四次不定方程的问题也并不简单。

简介四次不定方程是一类著名的不定方程。关于四次不定方程整数解的研究，是个难度较大的数论专题。目前的研究主要在二元四次和三元四次方面有一些结果，其余都还在探索之中。

发展历史在两百多年以前就已经知道不定方程有两组整数解。

直到1942年，永格伦（Ljunggren，W.）才给出了一个很繁琐的方法，证明了方程除上述两组解之外，再没其他正整数解。

17世纪，费马（Fermat，P.de）证明了不定方程没有的整数解，利用科恩（Cohen，J.H.E.）关于斐波那契数列的两个重要结果，可以证明下列不定方程解的情况为：，仅有两组整数解；，仅有四组整数解；，仅有十组整数解；，仅有八组整数解。

更一般的结果是：设整数D>1，且无平方因子，是中的基本单位数，若X，Y不是整数，则不定方程当D=5时，仅有一组正整数解；当D=13时，仅有一组正整数解。如果D是除5和13以外的奇素数时，则不定方程无正整数解。当D=5时，方程仅有两组正整数解；当D=13时，方程仅有一组正整数解。1

无穷递降法无穷递降法是由费马提出来的，在数论中具有很大的用处。17世纪，费马（Fermat，P.de）证明了不定方程没有的整数解，便是运用了此方法。

证明如下：

设中有一组的解，且设x>0，y>0，z>0，x是所有解中最小的。显然，。

如果，则由得出，故有，得出的一组解，而0