恒等同余

恒等同余(identity congruence)是两个多项式之间的一种等价关系，指相应系数都分别对模p同余的两个多项式。设p为素数，f(x)，g(x)为整系数多项式，若f(x)-g(x)的各项系数全被p整除，则称f(x)，g(x)对素数模p恒等同余，记为f(x)≡g(x)(mod p)或f≡g(mod p)1。

基本介绍设f(x)，g(x)为整系数多项式，p为素数，若多项式f(x)-g(x)的所有系数均能被p整除，则称f(x)与g(x)对模p恒等同余，记为f(x)≡xg(x)(mod p)或f(x)≡g(x)(mod p)，或简记为f≡xg(p)，并称此关系式为模p的恒等同余式。

注意，对所有x均有f(x)≡g(x)(mod p)，并不一定能推出f(x)≡xg(x)(mod p)，例如xp-x≡0(mod p)和x²+x≡0(mod 2)对一切x均成立，但xp-xx0(mod p)，x²+xx0(mod 2)。反之，若f(x)≡xg(x)(mod p)，则必有f(x)≡g(x)(mod p)对一切x成立2。

恒等同余的性质恒等同余有下述性质：

1.f(x)≡xf(x)(mod p)。

2.f(x)≡xg(x)(mod p)的充分必要条件是

g(x)≡xf(x)(mod p)。

3.若f(x)≡xg(x)(mod p)，

g(x)≡xh(x)(mod p)，

则f(x)≡xh(x)(mod p)。

4.若f1(x)≡xg1(x)(mod p)，

f2(x)≡xg2(x)(mod p)，

则f1(x)±f2(x)≡xg1(x)±g2(x)(mod p)，

f1(x)f2(x)≡xg1(x)g2(x)(mod p)，

特别重要的有(f(x))≡xf(x)(mod p)2。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所