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科技工作者之家 2020-11-17
塞尔伯格筛法(Selberg sieve)是塞尔伯格(Selberg,Atle,1917.6.14-)提出的在数论中有广泛应用的一个初等方法,筛法的基本问题是估计筛函数S(A;P,z)的上界和正的下界。
基本介绍塞尔伯格筛法是在数论中有广泛应用的一个初等方法。设A是由有限个整数组成的集合(元素可以重复),P是由无限个素数组成的集合(元素不能重复),以 表示所有不属于P的素数组成的集合,再设z≥2是任意实数,并令
函数
称为筛函数,它表示集合A中没有小于z且属于P的素因子的元素的个数,亦即表示从集合A中筛去所有小于z且属于P的素因子的元素后所剩下的元素的个数.筛函数有下述性质1:
1.S(A;P,2)=|A| (|A|表示A中元素个数);
2.S(A;P,z)≥0;
3.S(A;P,z1)≥S(A;P,z2),2≤z1≤z2;
4.对任意的2≤ω≤z,有
其更重要的性质是:
其中μ(d)为默比乌斯函数,Ad表示A中所有能被d所整除的元素所组成的子集,并且筛函数S(A;P,z)的估计与集合Ad,d|P(z)有密切的关系。对于集合A及P,适当选取正数X>1及一个非负可乘函数ω(d),μ(d)≠0, ,并设
及ω(d)满足条件:0