你知道牟合方盖吗？

牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法。由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖。（古时人们称伞为“盖”，“牟”同侔，意即相合。）

其实我国很早就有人开始了球体体积的研究，《九章算术》的“少广”章的廿三及廿四两问中有所谓的开立圆术，“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。”设d表示球的直径，V球表示球的体积，则有。

刘徽为《九章算术》作注时对这个公式提出了质疑说：“以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多。互相通补，是以九与十六之率，偶与实相近，而丸犹伤多耳。”他用每边为1寸的正方体棋子八枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆柱体，再在横向画一个同样的内切圆柱体。这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞，刘徽将其取名为“牟合方盖”。根据计算得出球体积是牟合方盖体积的四分之三，可是圆柱体又比牟合方盖大，但是《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积的四分之三，显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。

刘徽证实了《九章算术》中的公式错误，并且他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的比为4：π，只要有方法找出“牟合方盖”的体积便可。可惜，刘徽始终不能解决这个问题，他提出的解决方法是计算出“外棋”的体积，但由于“外棋”的形状复杂，始终没有成功，无奈只好留待有能之士图谋解决的方法：“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”

直至二百多年后，袓冲之和他的儿子祖暅承袭了刘徽的想法，利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题。他们的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一来研究。

他们先考虑一个由八个边长为r的正立方体组成的大正立方体（如图1），然后用制作“牟合方盖”的方法把这个大正立方体分割，再取其中一个小正立方体部分作分割，分割的结果如图2，它的体积为“牟合方盖”的八分之一，而其余部分便是三个“外棋”。

接下来，祖冲之父子考虑这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为h，三个“外棋”的横切面面积的总和为S，小牟合方盖的横切面边长为a，根据“勾股定理”有a²=r²-h²。另外，因为S=r²-a²所以S=r²-(r²-h²)=h²，因此，对于所有的h来说，这个结果也是不变的。

祖氏父子便由此出发，他们取一个底方每边之长和高都等于r的方锥，倒立过来，与三个“外棋”的体积的和进行比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为h，不难发现对于任何的h，方锥截面面积也必为h²。换句话说，虽然方锥跟三个“外棋”的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也是相等的，所以祖氏云：“缘幂势既同，则积不容异。”

所以，外棋体积之和=方锥体积=小立方体体积/3=r³/3

即：

小牟合方盖体积=2r³/3

牟合方盖体积=16r³/3

因此，球体体积=(π/4)(16r³/3)=4πr³/3

这个公式也就是正式的球体体积公式。

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