直三面角

直三面角(rectangular trihedral angle)指三个面角都是直角的三面角，直三面角的各个二面角都是直二面角。反之，三个二面角都是直二面角的三面角是直三面角1。

基本介绍基本概念直三面角是一种特殊的三面角，三面角的二面角有直角时，按直二面角是一个、两个或三个，分别称为单直三面角、双直三面角和三直三面角。通常三直三面角简称直三面角(下文的直三面角指的是三直三面角)，直三面角的三个面角也都是直角，直三面角从以顶点为球心的球面截下的球面三角形的三个内角都是直角，其面积是球面面积的八分之一。直多面角亦称直多面体角，是一种特殊的多面角，指以多面角的顶点为球心作单位球面，如果多面角在单位球面上截出的部分(球面多面形)的面积等于全球面面积的八分之一(即π/2)，则称该多面角为直多面角2。

例如，在图1中，由S，以及SA、SB、SC和相邻射线组成的面，组成的三面角，且每个面角都是直角，因此，三面角S-ABC是直三面角。一般房间的一个墙角是直三面角3。

定理直三面角的各个二面角都是直二面角。

证明 设直三面角O-xyz。

∵∠xOy=∠yOz=∠zOx=90°，

∴Oz⊥Ox，Oz⊥Oy，

∴∠xOy是二面角x-Oz-y的平面角。

∵∠xOy=90°，

∴二面角x-Oz-y是直二面角。

同理 z-Ox-y、x-Oy-z都是直二面角。

例题解析【例1】三面角的三个二面角的平分面，相交于同一条直线。

已知 三面角P-ABC。

求证 三个二面角 PA、PB、PC的平分面相交于一直线。

证明 设二面角PA和二面角PB的平分面相交于直线PO，

∵ PO在二面角PA的平分面内，

∴PO上的点至平面PAB和平面PAC的距离相等，

∵PO在二面角PB的平分面内，

∴PO上的点至平面PAB和平面PBC的距离相等，

∴PO上的点至平面PAC和平面PBC的距离相等，

∴PO必在平面PAC和平面PBC所组成的二面角PC的平分面内，

∴ 三个二面角的平分面相交于直线PO。

从本题可知：“至三面角的三个面距离相等的点的轨迹，是这三面角的三个二面角的平分面的交线。”

【例2】如果一个平面截直三面角，则截面是一个锐角三角形。

已知 直三面角O-ABC，平面ABC截它交三条棱OA、OB、OC分别于A、B、C。

求证 截面△ABC为锐角三角形。

证明 令OA=a，OB=b，OC=c，

∵O-ABC是直三面角，

∴它的三条棱两两互相垂直，

∴AB²=a²+b²，AC²=a²+c²，BC²= b²+c²，

∴AB²+ AC²=2a²+b²+c²>b²+c²= BC²。

同理 AB²+ BC²>AC²，AC²+BC²>AB²。

因为“一个三角形如果任意两条边的平方和大于第三条边的平方，则这个三角形是锐角三角形”。

∴△ABC为锐角三角形。

【例3】一个平面截直三面角，则截面锐角三角形的垂心，是顶点在截面上的射影。

已知 直三面角O-ABC，平面ABC分别截三条棱OA、OB及OC于A、B、C，G为截面△ABC的垂心。

求证 G为顶点O在△ABC上的射影。

证明 ∵G为△ABC的垂心，

∴连接AG引长交BC于D，则AD⊥BC，

∴AO⊥BO，AO⊥CO，

∴AO⊥平面BOC，AO⊥BC，

∴BC⊥平面AOD，

∴平面AOD⊥平面ABC。

同理 连接CG引长交AB于E，连接EO，则平面COE⊥平面ABC。

∴平面AOD和平面COE的交线OG垂直于平面ABC，

∴点G是顶点O在△ABC所在平面的射影。

说明 当截面△ABC位置给定以后，由于△ABC的垂心G是唯一的，顶点O在△ABC所在平面的射影也是唯一的，所以这个命题的条件和结论都具有唯一性，故可运用同一法去证明它的等效命题“一个平面截直三面角，则顶点在截面上的射影，是截面锐角三角形的垂心”4。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学