正多面角

正多面角(regular polyhedral angle)是一种特殊的多面角，指所有面角相等，所有二面角也相等的凸多面角。凸多面角是一种多面角，将多面角的任何一个面伸展成为平面，如果其他各面都在这个平面的同侧，则称该多面角为凸多面角。过凸多面角外部任何一点可以作一个平面，使凸多面角的所有点在这平面的同侧，凸多面角有如下性质：1.所有面角的和小于360°；2.任何一个面角小于其余面角的和；3.凸n面角的所有二面角的和大于(n-2)·180°而小于n·180°；4.用一不过多面角顶点，且与各棱相交的平面截凸n面角，得到一个凸n边形1。

基本概念多面角(polyhedral angle)又称“立体角”。过平面外一点O向平面内的简单多边形的顶点引射线．所有相邻射线所夹的平面部分围成的立体图形，称为多面角。点O称为多面角的“顶点”，射线称为“棱”，相邻两棱所夹的角称为“面角”，相邻两棱所夹的平面部分称为“侧面”，多面角按照它的侧面数目分别称为三面角、四面角等等。如果所给的多边形是凸的，则相应多面角称为凸多面角，否则称为凹多面角。凸多面角的面角和小于四个直角，多面角每相邻两个面间的二面角称为多面角的二面角。凸多面角各二面角之和大于(2n－4)直角，而小于2n直角(n表示棱数)2。

若多面角的面角都相等，二面角也都相等，就称为正多面角(regalar polyhedral angle)，两个面数相同的正多面角，它们既是对称多面角又是全等多面角2。

相关介绍所谓正多面角是指一个凸多面角S-ABCDE (图1)，它的各面角相等，并且各二面角相等（凸多面角指类似于星状正多边形有星状的正多面角）3。

所谓球面正多边形是指一个球面凸多边形，它的各边相等且各角相等。显而易见，对于顶点在一个球心的正多面角，在球上对应着一个球面正多边形，并且反过来也成立。

在一个正多面角S-ABCDE中，三面角S-ABC，S-BCD，S-CDE，...是全等的，因为有相等的二面角夹于分别相等的面角之间，且有同向。

但有一个旋转存在将棱SA带到SB上，并将棱SB带到SC上(因为∠ASB=∠BSC)，三面角S-ABC于是取S-BCD的位置，所以SC来到SD上。仿此，SD来到SE上；等等。因此，有一个旋转存在将正多面角变换为其自身，每一面取下一面的位置。推广言之，有一个旋转存在将正多面角变换为其自身，每一面取其后p个的位置：显然只须重复上面的旋转p次就行了。

第一个旋转的角显然以圆周的n分之一为度量，n表示多面角的面数，因为当我们重复这旋转n次后，多面角就旋转了一周重合于自身上。

这样一个旋转(把它重复n次相当于旋转一周)称为n阶的(*我们有时也把一个旋转称为n阶的，把它重复n次相当于旋转了若干周。但必须指出，当周数与n不互质时，这旋转的阶数是小于n的)。当一个图形经过某一2、3、..阶旋转而没有改变（*这里是指位置而不是外形没有改变），就称为它以这旋转轴作为2、3、...阶的轴。

如果p是n的一个因数，当我们把上面提到的旋转重复到p次，就得出另外一个旋转，它的角以圆周的n'分之一为度量，其中，n'代表整数n/p。

因此可看出，一个图形的n阶轴也是这图形的n'阶轴，n'表示n的任一因数。

凡2阶轴(因之，由上面所述，凡偶阶轴)是的反射轴(奇阶轴则不如此)。

多面角的n阶轴显然和所有的棱形成等角：它是这多面角外接回转锥的轴。

因此又得出，一个球面正多边形可内接于一圆，它的顶点显然将这圆分成相等的部分（*仿此可证明，一个球面正多边形可外切于一圆）:这就是在绕Sx的旋转中，它的一个顶点所画的平行圆。换句话说，如果在正多面角S-ABCDE各棱上，取等长SA = SB= SC= SD=SE，那么这些长度的末端是一个正多边形的顶点，它的平面垂直于Sx而且中心o在Sx上，因此我们照这样构成了一个正棱锥3。

直线So显然在这多面角内：通过点o延长，它便截以S为中心以SA为半径的球于一点O(图2)，这点在球面多边形ABCDE内部，称为这多边形的极。它事实上是多边形外接圆的两极之一，即在这圆内的那一个(因∠ASO为锐角)。

反之，在一个正棱锥顶点的多面角，容许一些旋转，换句话说，有一些旋转存在把它变换为其自身，即那些把锥底变换为其自身的旋转。另一方面，如果一个多面角容许一个旋转，在这个旋转中每一面取下一面的位置，它便可看作为在一个正棱锥顶点的多面角，而且它是正多面角，因为每一面等于下一面，而且每一二面角等于下一二面角。

最后，由于正多边形都具有在它平面上的对称轴，所以凡正棱锥，因之凡正多面角，都具有通过以上说过的一些旋转的轴So的对称平面3。

本词条内容贡献者为:

李岳阳 - 副教授 - 江南大学