费马素性检验

费马素性检验是一种素数判定法则，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。

概念根据费马小定理：如果p是素数，，那么1

如果我们想知道n是否是素数，我们在中间选取a，看看上面等式是否成立。如果对于数值a等式不成立，那么n是合数。如果有很多的a能够使等式成立，那么我们可以说n可能是素数，或者伪素数。

在我们检验过程中，有可能我们选取的a都能让等式成立，然而n却是合数。这时等式

被称为Fermat liar。如果我们选取满足下面等式的a

那么a也就是对于n的合数判定的Fermat witness。

|| ||

算法以及运行时间整个算法可以写成是下面两大部：

输入：n需要检验的数；k：参数之一来决定检验需要进行的次数。

输出：当n是合数时，否则可能是素数：

重复k次：

在[1,n− 1]范围内随机选取a

如果amodn≠ 1那么返回合数

返回可能是素数

若使用模指数运算的快速算法，这个算法的运行时间是O(k×logn)，这里k是一个随机的a需要检验的次数，n是我们想要检验的数。

缺点众所周知，对于卡米歇尔数n，全部的a都会令gcd(a,n)=1，我们称之为费马骗子数（Fermat liars）。尽管卡米歇尔数很是稀有，但是却足够令费马素性检验无法像如米勒-拉宾和Solovay-Strassen的素性检验般，成为被经常实际应用的素性检验。

一般的，如果n不是卡米歇尔数，那么至少一半的

是费马证人数（Fermat witnesses）。在这里，令a为费马证人数、a1,a2, ...,as为费马骗子数。那么

所有的a×aifori= 1, 2, ...,s都是费马证人数。

应用加密程序PGP在算法当中用到了这个素性检验方法。

参见卢卡斯-莱默检验法

埃拉托斯特尼筛法

米勒-拉宾检验

试除法

本词条内容贡献者为:

李岳阳 - 副教授 - 江南大学