圆内接四边形

圆内接四边形（Cyclic quadrilateral）是一个几何概念，是指四个顶点均在同一圆上的四边形。圆内接四边形拥有很多几何性质，可用于数学几何问题求解。

性质定理以右图所示圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，延长AB至E，AC、BD交于P，则：

▶圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°

▶圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC

▶圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB1

▶同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD

▶圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）

▶相交弦定理：AP×CP=BP×DP

▶托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD

判定定理1、如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于一个圆2；

2、如果一个四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于一个圆；

3、如果一个四边形的四个顶点与某定点等距离，那么这个四边形内接于以该点为圆心的一个圆；

4、若有两个同底的三角形，另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆；

5、如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆；

6、相交弦定理的逆定理；

7、托勒密定理的逆定理。

面积计算S圆内接四边形，，此公式称之为婆罗摩笈多公式。与海伦公式对比可以看出，这和海伦公式三角形面积具有惊人的相似性，其实海伦公式就是婆罗摩笈多公式d=0的特殊形式。

相关例题例题1：

在圆内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，BD=7，∠BDC=45°，则BC的长为_______？

答案

使用余弦定理：BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cosA，解得∠A=120°，

因为：圆内接四边形对角互补，

所以：∠C=60°，

使用正弦定理： BC÷sin∠BDC=BD÷sin∠C，

即BC÷[(√2)÷2]=7÷[(√3)/2]

所以：BC=(7√6)/3

例题2：

如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB>CD，K、M分别在AD、BC上，∠DAM=∠CBK，

求证：∠DMA=∠CKB（第二届袓冲之杯初中数学竞赛考题）

答案

证明：联结KM与BC延长线上一点E。

因为：∠DAM=∠CBK

所以：AKMB四点共圆

因为：AB//DC

所以：∠DKM=∠MBA =∠DCE

所以：∠AKB=∠AMB，∠DKM=∠MBA

所以：CDKM四点共圆

所以：∠DKC=∠CMD

所以：∠CKB=∠DMA

本词条内容贡献者为:

李航 - 副教授 - 西南大学