倍弦

倍弦（multiple chord ）是平面几何术语，是与相交圆有关的的一种特殊弦，过两圆交点的直线被两圆截得的部分叫做倍弦1。

基本介绍倍弦是一种特殊弦，指与相交两圆有特定位置关系的线段。如图1，若两圆相交，过一交点引直线与两圆再交于此交点的两侧，则所交两点间的线段(CD)称为倍弦2。

倍弦的作图【例1】已知圆O和圆O'相交于A，过A作直线与圆O、圆O'相交于B、C，使AB+AC=m(m为已知长)。

**解：**分析 (i) 设B、C在点A的异侧，所求直线BAC已作出，过O、O'作BC的垂线OE、O'F，则E、F各为AB、AC的中点。所以EF=1/2BC=m/2。又过O作O'F的垂线OM，则OM=EF=m/2。

因此可作图如下。

作图 以OO'为斜边作直角三角形OMO'，使OM=m/2，过A作OM的平行线与两圆相交于B、C，则直线BAC为所求的直线。

证明 过O、O'作BC的垂线OE、O'F，其垂足为B、F，则EFMO为矩形。因EF=OM=m/2，且E、F为AB、AC的中点，所以EF=1/2BC，BC=2EF=m。

讨论 要使本题成立，必须OO'不小于OM，即，因此时，一般有两解；吋，有一解；时，无解。

(ii) B、C在A的同侧时，用回转法作图，延长O'A，取AO"=O'A，以O"カ圆心、O"A労半径作圆，对于圆O和圆O“作倍弦BAC'，使AB+AC'=m，延长C'A与圆O'相交于C，则ACB为所求直线。因为圆O'和圆O"是相交于A的等圆，所以AC=AC'，AB+AC=AB+AC'=m1。

【例2】在上题中，使AB和AC的差等于已知长。

解 分析 (i)若B、C在点A同侧，设符合条件的线段ABC已作出。过O、O'作AC的垂线OF、O'E，则

AE=1/2AC，AF=1/2AB，所以EF=1/2(AB-AC)=m/2，过O'作OF的延长线的垂线O'G，则OG=EF=m/2，因此直角三角形OO'G可定。

作图 以OO'为斜边作直角三角形OO'G，使O'G=m/2(或OG=m/2)。过A作O'G的平行线与圆O、O'相交于B、C，则ABC即为所求作的直线。

证明讨论略1。

(ii) 若B、C在A的异侧，先作圆O'关于点A的对称圆O”，然后以两圆O、O"代替两圆O、O'，按上题作图，倍弦即可确定。

别解 设AC-AB=m，过OO'的中点E作BC的垂线EF，设AB、AC的中点分别为P、Q，则AQ=1/2AC，AP=1/2AB，AQ-AP=1/2(AC-AB)=m/2，又E为OO'的中点，F为PQ的中点，所以AF=1/2(AQ-AP)=m/4。

因此可作图如下。

作图 设OO'的中点为E，以AE为直径作半圆，在半圆上求点F，使AF=m/4，则割线BAFC即为所求直线1。

【例3】已知圆O和圆O'相切于点B，过B作直线与两圆相交于E、F，使EF等于已知长l。

解 作图 设两圆连心线00'的延长线与两圆相交于A、C，以C为圆心，l为半径作圆。过A作圆的切线AD，过两圆的切点B作EF//CD，与两圆相交于E、F，则直线EF内所求直线。

证明 ∠AEB和∠BFC都是半圆周角，所以都是直角。因此BFCD为矩形，EE=CD=l，EE即内所求的直线1。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学