弦心距

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦和所对弦的弦心距相等，四者有一个相等，则其他三个都相等。

定义在一个圆中，圆心到该圆的任一弦的距离，叫做这一弦的弦心距。

在同圆或等圆中，弦相等，弦心距也相等；反之，弦心距相等，弦也相等。

在同圆或等圆中，对于两条不相等的弦，它们的弦心距也不等，大弦的弦心距反较小。

相关性质圆心角、弧、弦、弦心距的性质(1)在同圆或等圆内，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦上的弦心距相等(逆命题也成立)。

(2)在同圆或等圆内，如果圆心角不等，那么圆心角大的所对的弧大，所对的弦大，所对弦上的弦心距小(逆命题也成立)1。

直径、弦、弧的性质(1)在圆内，如果直径垂直弦，那么这直径平分这弦，平分这弦所对的弦。

(2)在圆内，如果直径平分弦(这弦本身不是直径)，那么这直径垂直这弦，并平分这弦所对的弧。

(3)在圆内，如果直径平分弧，那么这直径垂直平分这弧所对的弦。

(4)在圆内，弦的垂直平分线通过圆心。

(5)在圆内，二平行弦所夹的弧相等1。

弦心距的计算遇到求弦长a，弦心距d，半径r及弓形高h的问题，经常建立以半径、半弦、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理解题2。

由a，d，r，h中任意两个可求其他两个，如图1。

(1)若已知r、d，则

(2)若已知r、h，则

(3)若已知r、a，则

(4)若已知d、h，则

(5)若已知a、d，则

(6)若已知a、h，则

有关弦长、弦心距的计算问题往往需要作垂直于弦的直径(半径或弦心距)，利用垂径定理平分弦的结论以及半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形达到求解的目的，也可用相交弦定理的推论解题2。

【例1】 本市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为240 m，A到BC的距离为5m，如图2所示，请你帮他们求出滴水湖的半径。

解****析 本题涉及垂径定理及其推论知识，得OA⊥BC，再利用勾股定理求解。

解：连接OA交BC于D，连接OB。

因为AB= AC，所以 ，

所以OA⊥BC，且BD=DC=1/2BC= 120，

由题意知DA=5，

在Rt△BDO中，OB²=OD²+BD²，

设OB= m，则

所以x=1442.5.

答：滴水湖的半径为1442.5 m2。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学