变参数系统

变参数系统就是指方法的参数个数改变同类事物按一定的关系组成的有条有理。

切换线性变参数系统的Hoo控制及其应用切换线性变参数系统(Switched Linear Parameter Varying System)是由线性变参数(LPV)系统和切换系统(Switched system)综合得到的一类系统，有着广泛的实际背景。线性变参数系统在系统中引入了参数，它能够更精确、更深刻地表示实际系统和非线性系统本身的复杂特性，使得线性系统理论和控制方法可以应用于实际系统和非线性系统。延续了线性变参数系统和切换系统两类系统的特点，切换线性变参数系统比线性变参数系统能够描述实际系统或非线性系统中更加复杂的系统动态，同时可以在控制设计中应用线性系统理论和切换系统的控制方法。对切换线性变参数系统研究的时间还相对较短，研究结果也相当有限。1

切换线性变参数系统切换线性变参数系统的研究是随着变参数系统和切换系统研究的深化而展开的。随着科学技术的发展，在军事科技和工业控制中需要面对更加复杂的系统和运行环境。因为切换信号的引入，切换系统的属性呈现出不同于任何子系统的特殊性和复杂性，引发了国内外学者的研究热情。源于变增益控制思想，上个世纪九十年代，变参数系统得到了深入的研究并得到大量的研究成果。在变参数系统中考虑切换因素，可以使系统更广泛深入地描述实际系统及近似各种非线性系统，所以切换线性变参数系统被提出和研究。在切换线性变参数系统中，同时包含连续（或离散）状态、离散切换信号和时变参数，动态性能更加复杂，因此切换线性变参数系统的研究具有很大挑战。切换线性变参数系统从提出到进-步研究，都与实际问题紧密结合，其研究工作具有重大的理论意义和实际意义。1

线性变参数系统及控制理论根据变增益控制思想，在研究中直接考虑参数相关的系统而非时不变系统，这就是线性变参数系统。线性变参数系统是一类状态空间矩阵依赖参数变化的系统。这类系统及控制理论的由来和发展是对时不变系统及理论的推广。时不变系统常认为是对非线性模型在某个平衡点进行局部线性化所得到的线性静态系统。但是当系统的状态偏离平衡点比较远时，这样的线性系统便不能满足控制需要。线性变参数系统考虑了实时参数变化与系统性能之间的关系。在系统的工作区域内，考虑到引起系统性能变化的参数，通过实时可测得的参数改变系统增益。这种模型比时不变模型更能够接近系统本源的非线性模型，但又具有线性系统的形式并可应用线性系统的控制方法。线性变参数系统将非线性系统和时不变线性系统之间架起了一座桥梁。与变增益方法不同的是，线性变参数系统及其控制理论基于线性矩阵不等式的时不变系统理论，能够在理论分析中保证系统的稳定性和动态性能。

针对仿射线性变参数系统，提出了一种新的参数相关型Lyapunov函数构造方法。针对参数在凸集内变化的线性变参数系统，这种方法将Lyapunov矩阵构造成为参数二次型的矩阵，使得线性矩阵不等式求解不必进行网格划分而只需要在参数和其导数区域顶点求解。但这种方法在求解线性矩阵不等式时需要将矩阵按照参数的数量进行扩维，当参数比较多时，矩阵的规模会比较大。

在应用方面，由于延续了变增益方法应用性强的特点，变参数系统及其理论应用范围非常广泛。其中包括：导弹控制、飞机控制、太空飞行器控制、机翼气体弹性力研究、二阶倒立摆控制、船舶控制、柴油机增压系统控制、电机控制、机器人控制等。1

非线性、变参数系统的求解、分析与综合方法介绍求解、分析、综合非线性、变参数系统的新方法为多级线性化-高阶微分方程法，它还具有补偿效应。多级线性化-高阶微分方程法的主要特点是：对非线性、变参数系统原始方程，进行必需阶次的微分，以便获得相应的高阶微分方程，它反应了系统的主要特性，包含了原始系统的更多信息，此方程的基本解组可确定非线性、变参数系统的参数，从而起到综合作用。而且多级线性化-高阶微方程的解，特别是它的带补偿效应的解，可较精确地反映非线性、变参数原始系统的特性。2

多级线性化-高阶微分方程方法多级线性化高阶微分方程方法，是求解分析综合非线性、变参数系统方程的方法，它所针对的非线性、变参数数学模型、应用条件、特点等。此法对非线性、变参数系统原始方程进行多次微分，形成高阶微分方程。高阶阶次根据系统物理特性要求，和可微阶次条件确定，然后略去高阶微分方程中的二阶以上的非线性变量项和时间一阶以上的时变项，就成为高阶线性微分方程。第二步，求解此高阶线性化方程的基本解组或基本解(但须满足系统综合指标-稳定性要求)，在求出的基本解或组和附加的必要条件的基础上，确定结构已经设定的线性化系统和原始系统方程的参数。根据非线性变参数原始系统的时间离散化方程， 估算起始值。最后就可求出参数确定的非线性、变参数原始方程及其时间离散化方程的数值解和估算出变量起始值及其各阶导数起始值，以及线性系统的全解，这就完成了求解、分析、综合非线性、变参数系统的任务。

多级线性化高阶微分方程方法，是较精确地求解、分析、综合非线性、变参数系统的简便方法。它将多项式仿射型非线性、变参数系统闭环方程，进行逐级微分形成高阶单变量非线性、变参数方程、或者多变量高阶非线性、变参数微分方程组(属已解耦或基本解耦的非线性、变参数微分方程组)，解出并给定高阶线性化微分方程或微分方程组的特征值，反推出高阶线性化方程(或方程组)的参数，从而确定非线性、变参数系统原始方程的主要参数，并按原始系统的物理特性和规定条件、或经验确定原始系统的少量次要、影响较小的参数。给定非线性变参数系统时间离散化方程的起始值和估算出相应各该导数的起始值，最后求解出线性化高阶微分方程的通解或全解(即包含某些被略去的项作为外作用的补偿特解)，以及确定具体参数后的非线性、变参数系统时间离散化方程的数值解。2

多级线性化高阶微分方程方法的应用举例此处是按简明扼要地说明和验证多级线性化高阶微分方程方法的基本目的、基本方法和基本步骤，特别是确定非线性、变参数原始系统的参数，起到对原始系统进行综合作用。为避免过于烦复，此处未考虑结合具体复杂系统。

现按步骤对应用举例说明于下：

1、给定非线性、变参数系统原始方程。

2、求定非线性 变参数系统原始方的二阶微分方程。

3、根据所设计的控制系统的要求，给定二阶线性化方程的特征值，进而对非线性、变参数系统进行综合。

4、求解不带补偿作用的多级线性化-高阶微分方程。

用多级线性化-高阶微分方程，可尽量多地保留原始非线性、变参数系统的信息，所确定的线性化-高阶微分方程的系数即原始非线性-变参数系统方程的主要系数，从而已达到了对原始系统进行综合的主要目的。至于进一步求解多级线性化-高阶微分方程(含带补偿和不带补偿两种情况)的目的有二。一为可将各自计算的结果进行比较，分析其相互关系和合理性；二为多级线性化-高阶微分方程的解析解形式和计算方式有助于非线性、变参数系统的更高层次的分析、综合要求，而且分析计算方便。

5、求解带补偿作用的多级线性化-高阶微分方程。

通过多级线性化-高阶微分方程方法的应用举例验证结果，足够说明下列两点：一为多级线性化-高阶微分方程方法(简称多级线性化方法)对非线性、变参数系统进行综合很有效；二为如果采用直接对非线性、变参数系统时间离散化原始方程进行计算的结果为依据，带补偿的多级线性化方法计算的结果精度最高，不带补偿的多级线性化方法计算结果的精度低于前者，简化的多级线性化方法计算的精度最低，它说明多级线性化方法是合理、正确的 。且多级线性化方法对非线性、变参数系统进行更高层次综合和分析是有益的。对更复杂的系统，其效果尤为显著。2

本词条内容贡献者为:

王慧维 - 副研究员 - 西南大学