佩特森-斯豪特定理学术资讯

佩特森-斯豪特定理(Petersen-Schoute theorem)是关于三角形真正相似的传递定理，该定理断言：若△ABC和△A′B′C′是真正相似三角形，并且△AA′A″，△BB′B″和△CC′C″也是真正相似三角形，则△A″B″C″和△ABC也是真正相似三角形。

定理介绍佩特森-斯豪特定理 如图1，若△ABC和△A′B′C′是真正相似三角形，并且△AA′A″，△BB′B″和△CC′C″也是真正相似三角形，则△A″B″C″和△ABC也是真正相似三角形。

佩特森-斯豪特定理与螺旋相似螺旋相似变换一个图形先经伸缩，然后再平移，那么最后得到的图形和原始图形的对应直线仍然保持平行，因此结果仍是一个伸缩变换。一般地，因为同样的理由，任何两个伸缩变换的和(即先变换一个，然后再进行另一个伸缩)仍是一个伸缩。另一方面，一个图形先经伸缩，然后旋转，那么对应直线就不再保持平行了。这样，伸缩和旋转(不是恒等变换或半转)的和，虽然仍是一个直接相似变换，保持角度的大小和符号，但已不再是一个伸缩变换了1。

关于同一个中心的伸缩变换与旋转变换的和，称为伸缩旋转变换或螺旋相似变换。对于这种变换人们知道的不多，但在许多问题的求解中用处很大。

如图2所示，中心为O的螺旋相似，将AB变为A'B'，则△OA'B'和△OAB为直接相似的且∠AOA'=∠BOB'，而且和单单一个伸缩变换的情况一样，伸缩比为k=OA'/OA= A'B’/AB。

因为任何一个螺旋相似变换被它的中心O，比k和旋转角度θ所决定，所以我们以符号O(k，θ)表示它(通常逆时针旋转为正，顺时针旋转为负) 。特别，O(k，0°)和O(k，180°)为图3和4所分别表示的伸缩变换，而O(1，θ)为一旋转1。

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相关定理作为螺旋相似变换应用的例子，我们来证明

定理1 如果在△ABC的三边BC、CA、AB上向外作正方形，其中心为O₁、O₂ 、O₃，则线段O₁O₂和CO₃相等且互相垂直。

在图5中，螺旋相似将△CAO₃，变为△KAB，螺旋相似将△O₁CO₂变为△BCK。

因为在这两个变换的像中BK是公共边，它分别是由O₃C和O₁O₂变来的，而在这两个变换中伸缩比又是相同的，因此原始三角形的这条边必定相等，又因O₃C和O₁O₂经过旋转45°和-45°后的像之间的夹角为0°，所以这两条线开始时一定互相垂直。

证明到此完毕(注意: AO₁、BO₂、CO₃三条直线是△O₁O₂O₃的高，因而是共点的)。

在定义螺旋相似为有相同中心的中心伸缩变换和旋转变换的和以后，我们自然会想到中心不相同的伸缩变换与旋转变换的和是什么?答案既简单又使人感到吃惊——还是一螺旋相似变换，因此不存在更复杂的直接相似变换了。

定理2 任何两个直接相似图形由一个平移或一个螺旋相似变换相联系。

要证明此，考虑直接相似图形的两条对应线段AB和A'B'。如果AB和A'B'平行且长度相等，则变换就是一个平移。要说明这一点，设C为AB外的任何一点，C'为它的像，则由图形的直接相似性，可以断言△ABC和△A'B'C'全等，它们的对应边平行。这样把任何点和它们的像相连的线段都互相平行且相等，所以这个变换就是一个平移。

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其次，设AB和A'B'长度不等(如果A、B、A'、 B'四点不形成四边形，那么取一对新的对应线段并取名为AB和A'B'。例如，如果B位于AA'上(如图6所示)，用AB的中点来代替A，A'B' 的中点代替A')，则如图7所示，直线AA'和BB'相交于D点。圆ABD和A'B'D有一个公共点D，设另一个公共点为O(或者，如果它们相切于D点，那么设D点另一个名称为O)，比较角度OAB、ODB、ODB'和OA'B'，我们可知∠OAB=∠OA'B'。同理，∠OBA= ∠OB'A'。这样，直接相似的△OAB和△OA'B'由一螺旋相似变换O(k,θ)所联系，其中k=OA'/OA且θ=∠AOA'。

换言之，不是平移的各个直接相似变换都有一个不动点，而且这个不动点是唯一的。因为如果有两个不动点，例如说是A和B，那么会产生一条不动的线段AB，因为k=AB/AB=1，所以这个相似变换就是保持两点固定的等距变换。如果这个变换把△ABC变为△ABC'，我们能把C'安于中心在A和B，半径为AC和BC的两个圆上。这样，保持A和B不变的等距变换只可能是恒等变换(平移距离为零的平移变换)和反射变换(它不是直接相似的，因为它改变了角的符号)。

例如，把具有不同比例尺的同一个州的两幅地图重叠在描迹纸上，那么刚好有一个地方在两张图，上用同一点表示(“重叠”一词是指小比例尺的图安放于大比例尺的图内，这时，容易证明螺旋相似的中心为州内一点)1。

这个想法曾由彼德森(Julius Petersen)(1880)和绍特(P.H.Schoute)(1890)发展成一个极其美妙的定理，下面是它的一个特殊情况1：

佩特森-斯豪特定理特殊情况定理3 如果△ABC和△A'B'C'是两个直接相似三角形，而△AA'A"，△BB'B"和△CC'C"为三个直接相似三角形，那么△A”B"C"直接相似于△ABC。

如果△ABC和△A'B'C'经一个平移而全等，那么这个定理是显然成立的。如果不是平移，那么设O(k,θ)为将△ABC变为△A'B'C'的唯一的螺旋相似变换，则有

k=OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC，θ=∠AOA'=∠BOB'=∠COC'(图6)，

那么有△OAA'∽△0BB'∽△OCC'，

但我们假设有△AA'A"∽△BB'B"∽△CC'C"，

因此△OAA"∽△OBB"∽△OCC"

且:OA"/OA=OB"/OB=OC"/OC=k'，

∠AOA"=∠BOB"=∠COC"=θ' 存在

一个螺旋相似变换O(k',θ')，把△ABC和△A" B"C”相联。

用同样方法证明的彼德森-绍特(Petersen-Schoute)定理的另一种特殊形式为: