混合计算模型

混合计算机模型（hybrid computational models）是由计算机与其所控制的物理部件构成的，具有既随时间连续变化的变量又受事件驱动的离散变量的系统的数学模型。在已有的计算理论基础上，已陆续出现多种混合计算模型。大体上可分为逻辑、程序设计以及自动机型。

类型逻辑型混合计算模型

逻辑型混合计算模型的主要思想基于时态逻辑，引入时段和切变的概念。时段可用来刻画系统在一个时间区间上的连续变化，而切变则表示事件的发生（离散变量的变化）。在单个时段上，借用连续数学（微分方程理论）推导系统的行为；而在相邻时段间，则用时态逻辑中切变算子的规则，推导系统行为的转化。逻辑型混合计算模型的时段演算，已引起该领域的同行的广泛重视。

程序设计型混合计算模型

程序设计型混合计算模型是将传统的程序设计语言加以推广以容纳连续变量。推广后的程序语言可用来描述混合系统的行为。而其中的控制部分可逐步求精，变换成传统的可在计算机上执行的软件，从而生成数值控制系统。通信顺序进程CSP，已推广为混合顺序进程。在这个程序语言中，有一种特殊的语句称为连续构件，它可表示一个具体给定初值的微分方程；而原有的通信语句可用来表达事件的起源和发生；程序语言中的顺序算子，条件算子等用来刻画连续构件和通信间的耦合关系。

混合自动机

自动机是一类数学模型，用以模拟离散的系统或过程（诸如计算机、数字电路、神经系统或细胞增殖等），研究其结构与功能间的联系，帮助人们分析与设计各类计算与文字图形处理装置、通讯与控制系统等。该理论使用离散数学的工具，研究现可能有的计算机的潜力与极限。自动机已用于各种模拟计算系统，计算机本身亦可看作一个庞大的有限状态自动机：一个状态表示计算机中各存储器和寄存器一种取值，而计算机的操作导致计算机由一个状态转移至另一个状态。如果将自动机的状态看作是在一组微分方程控制下，一组连续变量的连续变化过程，则将状态的转移视作事件的驱动。这种推广后的自动机称作混合自动机，可用来描述和计算混合系统的行为。

计算理论计算理论是计算的基本特性的科学研究，目的是判定什么问题能有效地计算：对于具体的计算问题，科研人员或者为其设计有效的算法，或者证明其不存在有效的算法。计算理论的研究始于本世纪三十年代，当时通过逻辑学家的研究得出了可计算理论。到了五十年代，随着高级语言的出现，人们的注意力转移到了程序的剖析和编译，导致了自动机和形式语言研究的出现。六十年代到七十年代之间，研究工作者开发了基本数据结构，设计出了离散算法，提出了NP-完全性概念。过去的六十多年来，计算理论的研究和应用范围在不断地改变。在算法和复杂度理论这一核心领域之中，又出现了许多新的研究分支。对于一个计算问题，需要做如下工作：构造计算模型，设计算法，分析算法(即分析所需时间和空间)等。

计算机科学理论为计算机、语言、程序和协议提供了通用的和具体的模型，以及对这些模型进行分析的方法。具体的计算模型被用来研究特殊的实现问题。小圆石游戏(Pebble-Game)和分支程序(Branching Program)模型为图连通和矩阵乘法问题中的具体时空折衷研究提供了条件。红蓝小圆石游戏(Red-blue Pebble Game)抓住了两级层次存储的本质特征，也展示了I/O时间和存储空间之间的折衷下界。VLSI模型考虑到了线宽，有利于芯片面积和它的计算时间之间折衷的研究。用来研究基本规律的计算模型有图灵机、有限自动机、逻辑电路和最近的量子计算机(Quantum Computer)；为理解特殊问题而定义的特殊模型，有为研究超高速缓存而设计的存储层次结构模型；关于算法设计和分析的模型包括关系数据库模型、并行随机存取机(PRAM)、同步网络或异步网络(Networks of Synchronous or Asynchronous)和短程或远程耦合计算机(coupled computers)1。

数学模型数学模型是使用数学概念和语言来对一个系统的描述。创建数学模型的过程叫做数学建模。数学模型不只用在自然科学（如物理、生物学、地球科学、大气科学）和工程学科（如计算机科学，人工智能）上，也用在社会科学（如经济学、心理学、社会学和政治科学）上；其中，物理学家、工程师、统计学家、运筹学分析家和经济学家们最常使用数学模型。模型会帮助解释一个系统，研究不同组成部分的影响，以及对行为做出预测。数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。

数学模型通常由关系与变量组成。关系可用算符描述，例如代数算符、函数、微分算符等。变量是关注的可量化的系统参数的抽象形式。算符可以与变量相结合发挥作用，也不可以不与变量结合。通常情况下，数学模型可被分为以下几类：

线性与非线性：在数学模型中，如果所有变量表现出线性关系，由此产生的数学模型为线性模型。否则，就为非线性模型。对线性与非线性的定义取决于具体数据，线性相关模型中也可能含有非线性表达式。例如，在一个线性统计模型中，假定参数之间的关系是线性的，但预测变量可能是非线性的。同理，如果一个微分方程定义为线性微分方程，指的是它可以写成线性微分算子的形式，但其中仍可能有非线性的表达式。在数学规划模型中，如果目标函数和约束条件都完全可以由线性方程表示，那么模型为线性模型。如果一个或多个目标函数或约束表示为非线性方程，那么模型是一个非线性模型。即使在相对简单的系统中，非线性也往往与混沌和不可逆性等现象有关。虽然也有例外，非线性系统和模型往往比线性研究起来更加困难。解决非线性问题的一个常见方法是线性化，但在尝试用来研究对非线性依赖性很强的不可逆性等方面时就会出现问题。

静态与动态：动态模型对系统状态随时间变化情况起作用，而静态（或稳态）模型是在系统保持平稳状态下进行计算的，因而与时间无关。动态模型通常用微分方程描述。

显式与隐式：如果整体模型的所有输入参数都已知，且输出参数可以由有限次计算求得（称为线性规划，不要与上面描述的线性模型相混淆），该模型称作显式模型。但有时输出参数未知，相应的输入必须通过迭代过程求解，如牛顿法（如果是线性模型）或布洛登法（如是非线性模型）。例如喷气发动机物理特性如涡轮和喷管喉道面积，可以在给定特定飞行条件和功率设置的热力学循环（空气和燃油的流量、压力、温度）的情况下显式计算出来，但不能用物理性质常量显式计算出其他飞行条件和功率设置下发动机的工作周期。

离散与连续：离散模型将对象视作离散的，例如分子模型中的微粒，又如概率模型中的状态。而连续模型则由连续的对象所描述，例如管道中流体的速度场，固体中的温度和压力，电场中连续作用于整个模型的点电荷等。

确定性与概率性（随机性）：确定性模型是所有变量集合的状态都能由模型参数和这些变量的先前状态确定确定的一种模型；因此，在一组给定的初始条件下确定性模型总会表现相同。相反，在随机模型（通常成为“概率模型”）中存在随机性，而且变量状态并不能用确定值来描述，而用概率分布来描述。

演绎，归纳与漂移：演绎模型是创建在理论上的一种逻辑结构。归纳模型由实证研究及演绎模型推广而得。漂移模型则既不依赖于理论，也不依赖于观察，而仅仅是对预期结构的调用。当数学应用在经济学以外的社会科学时，此类模型一直被批评为毫无根据的模型。科学中在突变理论的应用已被定性为漂移模型2。

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所