欧几里得第五公设

欧几里得第五公设(Euclidean fifth postulate)简称第五公设，亦称平行公理，是对几何学的发展起着重要作用的一个公设。在欧几里得(Euclid)的《几何原本》中，第五条公设是：同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则该两直线必在这一侧相交。因它与平行公理是等价的，所以又称为欧几里得平行公设，简称平行公设。由于第五公设的内容和叙述比前四条公设复杂，所以引起后人的不断研究和探讨，在两千多年间，许多学者试图用《几何原本》中其余公设和推论证明，然而都没有成功，但却从中获得了一些和第五公设等价的命题，后来，到19世纪，几位数学家否定第五公设，推导出一些和欧几里得几何不同的新命题，从而导致非欧几里得几何的产生1。

基本介绍欧几里得第五公设(Euclid fifth postulate)是创立非欧几何的经典命题，古希腊数学家欧几里得(Euclid)的《几何原本》第一卷中列举了23个定义、5条公设、5条公理，由此推证出48个命题。第五条公设的全文如下：“若两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于二直角，则适当延长这两条直线，必在和小于二直角的一侧相交。”此公设与其他4条公设、5条公理相比，不但比较复杂而且也不显而易见。欧几里得用第五公设证明命题也出现的较晚，直到命题29才第一次引用第五公设，23个定义中平行直线的定义也排在最后，因此，人们认为欧几里得这样做，是一时证明不出第五公设，不得已而为之，并不认为第五公设是不可证明的2。

对欧几里得第五公设的试证《几何原本》问世后，试证第五公设的活动也即开始，所谓证明第五公设，就是用前4个公设、5个公理以及由它们推证出的命题来证明第五公设。人们陆续给出各种证明，但都犯了同一种错误：在论证过程中不知不觉地引进了未加证明的新假设。因此，这种“证明”并没有减少公理，只不过用第五公设等价的新公理代替第五公设而已。例如，古希腊数学家普罗克洛斯(Proclus)的证明中引进了新假设：“两平行直线间的距离是有限的。”2

1795年，英国数学家普莱费尔(J.Playfair)在《几何原理》一书中使用等价命题：“两条相交直线不能平行于同一条直线”，后来又发展成“在平面上，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”。这就是目前中学课本中使用的平行公理，通常称为普莱费尔公理。法国数学家克莱罗(A.-C.Clairaut)引进的假设是“若四边形有3个角是直角，则第4个角也是直角”(1741)。意大利数学家萨凯里(G.Saccheri)在1733年出版的《免除所有污点的欧几里得几何》中，试图使用反证法证明第五公设：假定第五公设或其等价命题不成立，由此导出矛盾。萨凯里考虑如下的四边形ABCD：相邻的∠A与∠B都是直角，且AD=BC.不用第五公设可证出∠C=∠D.于是有3种可能：

1.∠C和∠D都是直角(直角假设)。

2.∠C和∠D是相等的钝角(钝角假设)。

3.∠C和∠D是相等的锐角(锐角假设)。

其中直角假设与第五公设等价。萨凯里假定直角假设不成立，希望由此导出矛盾，萨凯里很容易否定了钝角假设，然后，假设∠C与∠D是锐角时，推出了一系列令人难以置信的结论，例如，他证出：过一直线a外一点M的所有直线可分成两类，一类与a有公共点，另一类与a没有公共点，而这两类直线的分界直线是与a没有公共点且与a越来越逼近的渐近线，诸如此类的结论是超出当时人的想象的，虽然一直没有引出矛盾，但他认为这些结论与人的经验不相容，而断定锐角假设不成立，于是他认为证明了第五公设，其实萨凯里在锐角假设下所推出的结论表明，在欧几里得《几何原本》中，可以用直角假设代替第五公设而得出欧几里得几何学，也可以用与第五公设相矛盾的锐角假设代替第五公设而得出与欧氏几何不同的新几何学，萨凯里没有看出这一点，失去了发现新几何学的机会。

德国数学家朗伯(J.H.Lambert)考虑有3个直角的四边形，对于第4个角，从逻辑上可作出直角、钝角、锐角三种假设，他看到直角假设等价于第五公设，钝角假设虽然与欧氏几何矛盾，但是导出的结论却与球面几何学的定理相一致，而从锐角假设推证出的结论可用于虚半径球面上的图形，他认为，只要一种假设不导致逻辑矛盾，就能提供一种几何学。

萨凯里、朗伯等人都因为试证第五公设而成为非欧几何的先驱者，非欧几何也在试证第五公设的过程中逐渐成熟，最终由德国数学家高斯(C.F.Gauss)、俄罗斯数学家罗巴切夫斯基(Н.И.Лобачевский)、匈牙利数学家波尔约(J.Bolyai)完成2。

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任毅如 - 副教授 - 湖南大学