双曲型圆簇学术资讯 - 科技工作者之家

双曲型圆簇(hyperbolic family of circles)是圆簇的一种，指幂是正的圆簇。有公共等幂心的圆的集合叫做圆簇，又叫做共幂圆系，这公共等幂心叫做该簇的中心。等幂心对簇内每个圆的幂叫做圆簇的幂。如果圆簇的幂是正的，则称该圆簇为双曲线型圆簇，如果是负的，则称该圆簇为椭圆型圆簇，如果圆簇的幂为零，则称该圆簇为抛物线型圆簇1。

基本介绍双曲型圆簇指幂是正的圆簇。如图1，以圆簇中心为圆心，以圆簇中心到各圆所作切线长(这些切线长均相等)为半径的圆称为圆簇的基圆，亦称圆簇的根圆，它与圆簇中的所有圆都直交，图中⊙O为该圆簇的基圆2。

双曲型圆簇的性质双曲型圆簇有以下性质：

1.它的中心在圆簇中所有圆的外部.

2.圆簇中每两个圆所确定的圆束的根轴均通过圆簇中心，形成通过这个中心的直线束.

3.基圆与圆簇中椭圆型圆束的连心线相离.

图中⊙O1与⊙O2所确定的圆束是椭圆型的，其连心线O1O2与基圆O相离；基圆与圆簇中双曲型圆束的连心线相交于两点，图中⊙O3与⊙O4所确定的圆束是双曲型的，其连心线O3O4与基圆O相交于A，B两点；基圆与圆簇中抛物型圆束的连心线相切，图中⊙O5与⊙O6所确定的圆束是抛物型的，其连心线O5O6与基圆O相切于T点2。

相关介绍在平面上存在着有公共根心的无限多的圆。根心是三个已知圆束中每两个圆的根轴的公共交点，这个点到三已知圆的方幂相等。但因为每两个不同的圆就确定了一个圆束，因此三个圆心不在同一直线上的已知圆，就能确定三个不同的圆束，圆束中所有圆都有一个共同的根轴，这根轴上的点到束中所有的圆都有相等的方幂，可以想象，三个圆束的根轴的交点，它到三个圆束中所有圆都有相同的方幂。

有公共根心的圆的全体，叫做圆簇。公共的根心叫做圆簇的中心，中心对圆簇中各圆的方幂是相等的，这个值叫做圆簇的方幂。若圆簇的方幂是正的，则这个圆簇叫做双曲型圆簇；若圆簇的方幂是负的，则叫做椭圆型圆簇；若圆簇的方幂等于0，则叫做抛物型的圆簇3。

对于双曲型圆簇，簇的中心到各圆的方幂都是正的时候，就是从中心向各圆所作的切线长都等长。这样，以中心O为圆心，以O到各圆的切线长OT为半径的圆，是圆簇所有圆的直交圆(图2)，这个圆叫做圆簇的基圆。

我们可以推知，圆簇的中心在所有圆的外部。圆簇中每两个圆都可以确定一个圆束，这个圆束的根轴通过中心O，形成一个通过中心的直线束。圆簇中的圆所决定的圆束可以包含双曲、椭圆和抛物三种类型的圆束，如图3中的根轴就代表了这三种类型的圆束的根轴。基圆O与各圆束的连心线可以有三种关系:1)若是椭圆型圆束的根轴，这个圆束的公共连心线与基圆相离；2)若是双曲型圆束的根轴，则这个圆束的公共连心线与基圆O相交于两个点；3)若是抛物型圆束的根轴，这个圆束的公共连心线与基圆O相切3。