二分搜索算法

在计算机科学中，二分搜索（英语：binary search），也称折半搜索（英语：half-interval search）、对数搜索（英语：logarithmic search），是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。搜索过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜索过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。

原理计算步骤 给予一个包含 个带值元素的数组 或是记录，使 ，以及目标值 ，还有下列用来搜索 在 中位置的子程序。

令 为 ， 为 。

如果 ，则搜索以失败告终。

令 （中间值元素）为 。

如果 ，令 为 并回到步骤二。

如果 ，令 为 并回到步骤二。

当 ，搜索结束；回传值 。

这个迭代步骤会持续通过两个变量追踪搜索的边界。有些实际应用会在算法的最后放入相等比较，让比较循环更快，但平均而言会多一层迭代。

大致匹配以上程序只适用于完全匹配，也就是查找一个目标值的位置。不过，因为有序数组的顺序性，将二分搜索算法扩展到能适用大致匹配并不是很重要。举例来说，二分搜索算法可以用来计算一个赋值的排名（或称秩，比它更小的元素的数量）、前趋（下一个最小元素）、后继（下一个最大元素）以及最近邻。搜索两个值之间的元素数目的范围查询可以借由两个排名查询（又称秩查询）来运行。

排名查询可以使用调整版的二分搜索来运行。借由在成功的搜索回传{\displaystyle m}，以及在失败的搜索回传{\displaystyle L}，就会取而代之地回传了比起目标值小的元素数目。

前趋和后继查询可以借由排名查询来运行。一旦知道目标值的排名，其前趋就会是那个位于其排名位置的元素,或者排名位置的上一个元素（因为它是小于目标值的最大元素）。其后继是（数组中的）下一个元素，或是（非数组中的）前趋的下一个元素。目标值的最近邻可能是前趋或后继，取决于何者较为接近。

范围查询也是直接了当的。一旦知道两个值的排名，不小于第一个值且小于第二个值的元素数量就会是两者排名的差。这个值可以根据范围的端点是否算在范围内，或是数组是否包含其端点的对应键来增加或减少1。1

复杂度分析时间复杂度

折半搜索每次把搜索区域减少一半，时间复杂度为 。（n代表集合中元素的个数）

空间复杂度

，虽以递归形式定义，但是尾递归，可改写为循环。

示例代码C 版本- 递归int binary_search(const int arr[], int start, int end, int khey) {if (start > end)return -1; int mid = start + (end - start) / 2; //直接平均可能会溢位，所以用此算法if (arr[mid] > khey)return binary_search(arr, start, mid - 1, khey);else if (arr[mid] khey)return this.binary_search(low, mid - 1, khey);if (this[mid] end:return -1mid = start + (end - start) / 2if arr[mid] > hkey:return binary_search(arr, start, mid - 1, hkey)if arr[mid]