二维基本形

二维基本形(two-dimensional fundamental forms)是点场与线场的统称。平面上所有点的集合称为点场，该平面称为点场的底。平面上所有直线的集合称为线场， 该平面称为线场的底。其实，点场、线场在某种意义下都是平面的同义语，二维基本图形是点场与线场的统称。

基本概念在射影几何中，所有几何图形都是由以下的基本形构成：

定义1 属于一条直线 的所有点A，B，C，……的集合，称为以 为底的点列。记作

定义2 一个平面上经过一点P的所有直线a，b，c，……的集合，称为以P为中心的线束。记作

定义3 属于一个平面 的所有直线A，B，C，……的集合，称为以 为底的点场。记作

定义4 属于一个平面 的所有直线a，b，c，……的集合，称为以 为底的线场。记作

点列的点，线束的直线，其自由度均为1，故称点列和线束为一维基本形。同理，点场和线场称为二维基本形。也常把以 为底的点场和线场合称为点线场1。

二维射影变换一维基本形的透视对应、射影对应，可推广到二维基本形中，对点线场进行类似的讨论。

其实若将点列、线束视为射影平面(二维射影空间)的子空间，则一维基本形的射影对应是平面到自身的元素间的对应，即二维的射影变换。

因此，二维射影变换是点线场的元素间的一一对应，且经变换四元素的交比不变。

其中将点变成点，直线变成直线的变换保同素性，称为同素变换或直射变换，否则，称为对射变换。

定义1 二平面的点之间的透视对应就是二平面之间点的一一对应，使得对应点的连线共点，如图1。

定义2 两个平面间的一一对应，如果满足下列条件2：

(1)保持点和直线的结合性；

(2)任何共线四点的交比等于其对应四点的交比，则此一一对应叫做射影对应。

同样可以给出两个平面间的直线间的射影对应的定义。

两个平面的点之间或直线之间的射影对应是同素对应(点对应点从而直线对应直线，或直线对应直线从而点对应点)，通常我们只讨论点到点间的同素对应，由射影对应定义可以看到以下性质：

(1)两平面点之间的透视对应必是射影对应。

(2)若干次透视对应(透视链)的结果必为射影对应。

(3)两平面间的射影对应是一种等价关系。

定义3 在定义2中，如果两对应平面是重合的，则所建立的射影对应叫做该平面的射影变换。

我们所讨论的射影对应和射影变换，一般都是同素的，简称为同素变换2。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学