空间步长

空间步长，是指空间上两个节点之间的垂直距离。与时间步长相似，在过程模拟中，模型将整个空间离散为N个细小的网格，每个网格可以视为属性均一的单元，这个网格的边长就是空间步长。在模拟区域过程时，一般需要设定空间步长，空间步长的大小一般取决于所在空间单元属性的异质性和模拟目的。

时间和空间步长的选择其绝对值越大，计算时间越少；其绝对值越小，计算时间越长，模拟就越精细，过程越复杂。空间步长过大会概化重要的属性信息，空间步长过小就会降低模拟效率。因此，在模拟时要选择适宜的单元以满足研究的需要。在数值模型中，时间和空间步长的选择常需考虑数值计算的稳定性。

煤层瓦斯流动数值解算时空步长的选取对应用有限差分法解算煤层瓦斯流动时，如何选取合适的时间步长和空间步长、如何根据煤层瓦斯压力分布计算煤壁瓦斯涌出量等问题进行了分析和探讨。用煤壁处节点与煤层内相邻节点间的瓦斯压力梯度来求煤壁瓦斯涌出量的方法误差较大。根据煤层内各节点的瓦斯压力值对瓦斯压力进行拟合，用拟合曲线在煤壁处的斜率作为煤壁瓦斯压力梯度计算瓦斯涌出量，能得到可靠精确的结果。通过考察选取不同时间步长和空间步长时煤壁瓦斯压力梯度的变化，提出了选取合适的时间步长和空间步长的方法。1

时间步长和空间步长的选取在推导差分格式时对煤层瓦斯流动区域进行时空上的离散化，时间的离散化就是将连续的时间分割成相等或不相等的时段Δt，Δt就称为时间步长；对计算区域进行等间距或不等间距网格划分，网格节点之间的距离Δx就称为空间步长。选取合适的时间步长和空间步长对有限差分法有重要意义，首先它能保证计算结果具有一定的精度，其次能减少计算机资源的浪费，提高效率。已论述了煤壁瓦斯压力梯度的计算方法，现通过考察选取不同时空步长时煤壁瓦斯压力梯度的变化，举例说明时空步长的选取方法。1

时间步长的选取当空间步长取0.2m，取不同时间步长时煤层节点瓦斯压力拟合曲线在煤壁处的斜率k1及煤壁节点与煤层内相邻节点间的压力梯度k2的变化。

可以看出，根据瓦斯压力拟合曲线得到的在煤壁处的斜率k1及煤壁节点与煤层内相邻节点间的压力梯度k2之间的差别很大，所以用k2计算煤壁瓦斯涌出 量会产生较大 的误差，用k1计算可以保证计算结果的可靠性。随着时间步长的不断减小，k1、k2的变化越来越小，那么计算结果就越精确。所以从理论上讲，时间步长取得越小越好。在实际计算过程中，应根据计算结果对精度的要求，通过考察瓦斯压力拟合曲线在煤壁处斜率k1的变化来选取合适的时间步长，尽量选用较小的时间步长。1

空间步长的选取时间步长均取0.002d，取不同空间步长求出的煤层节点瓦斯压力拟合曲线在煤壁处的斜率k1及煤壁节点与煤层内相邻节点间的压力梯度k2随空间步长的变化。

可见，随着空间步长的变化，k1曲线变化比k2曲线变化稳定可靠；当空间步长在0.2～0.6m之间时，k1曲线变化比较小。可以认为空间步长从0.2～0.6m之间选取比较合适。1

步长对一维非稳态导热数值计算的影响以一个一维非稳态导热问题为例，研究了不同的步长和差分格式对计算结果的影响。研究表明：空间步长不能选得过大，否则会使得网格数较少，计算误差增加；空间步长一定时，计算结果随傅立 叶数变化而波动，且波动幅度 因空间步长的增加而 加剧；空间 步长较大时，从显式格式、Crank-Nicolson格式到全隐格式的计算精确度逐渐变差。 另外，显式格式计算结果的合理性较强依赖于傅立叶数的取值；Crank-Nicolson格式只在空间步长较大时，才显示出这种依赖性；而全隐格式没有此类问题。2

显式格式的计算结果及其说明由于显式差分格式的稳定性判据要求傅里叶数的取值应在一定范围之内 (对于研究的情况，其值在0～0.5之间，见文献)，所以横坐标范围取0.008～0.48。可以得出：

1、网格单元数较少时的计算结果随傅里叶数变化的准确值附近有明显的波动，且波动程度随傅里叶数增加而加剧。此时在小傅里叶数区，波动相对较弱，但计算结果与网格单元数较多时有较大差距，如单元数为2、4和8时的情况。

2、网格单元数较多时的计算结果随傅里叶数增加无太大波动，且此时各种单元数下的计算结果均十分接近，如单元数为16和32时的情况。

3、计算结果合理性对傅里叶数的依赖程度与网格单元数的多少有关，计算表明：随着网格单元数的增加，计算结果的合理性对傅里叶数的限制越严格，越要求其值位于稳定性判据限定的范围之内。当网格单元数为2和4时，即使傅里叶数达到0.58也未出现“反常”情况，即理论上最高温度点处的温度反而小于临近节点处的温度；而网格单元数分别为8、16和32时，则当傅里叶数分别达到0.544、0.510和0.504之后，即会出现上述“反常”现象。

造成上述结论的原因在于，时间步长Δτ与空间步长Δx平方的倒数和傅里叶数成正比。当网格单元数较少时，空间步长较大，使得在傅里叶数较大的区域里时间步长太大，导致计算结果随傅里叶数的变化有较明显的波动。文献 中的笔算结果 (单元数=2)之所以与单元数较多时的计算结果一致，是因为其傅里叶数取值 (Fo=1/3)恰巧位于两个波动点 (0.328和0.352)之间，与程序计算出的傅里叶数为0.336时的结果十分接近。在小傅里叶数区，时间步长会因傅里叶数较小而减小，所以波动相对较弱。但是此时用空间二阶差分代替数学模型中的空间二阶微分时，仍会因空间步长较大造成较大误差，从而与网格单元数较多时相比，计算结果有较大偏离。2

全隐式和Crank-Nicolson的计算结果及说明全隐式格式和Crank-Nicolson格式的计算结果可以看出：

1、与用显式格式计算的结果相似，当网格单元数较少时，计算结果随傅里叶数的变化也有明显的波动，且波动程度随傅里叶数的增加而增加。但与显式格式不同的是，这两种格式的波动是在大于准确值的一侧，而非在其两侧波动。

2、当网格单元数较少时，以这两种格式计算的结果都比用显式格式计算的结果有较大误差，其中以全隐式格式计算的结果的误差更大些；当网格单元数较多时，这三种格式的计算结果基本一致。

3、计算表明：当用Crank-Nicolson格式计算时，计算结果的合理性仍会对傅里叶数的取值范围有一定依赖性，且这种依赖程度与网格单元数多少有关。不过与显式格式不同的是，此格式允许在更大范围内对傅里叶数取值，且网格单元数很少时这种依赖性才有所体现。如当网格单元数为2和4时，傅里叶数分别达到3.52和13.28时，即出现所说的“反常”现象；而当网格单元数为8、16和32时，在傅里叶数为0.16至16的范围内，都无这种“反常”现象发生。

4、用全隐式格式计算时，不管网格单元数为多少，计算结果都无“理论上最高温度点处的温度反而小于临近节点处的温度”的反常现象发生，即使傅里叶数达到16时也如此，这基本证实了文献中的“全隐格式对时间步长没有限制”的说法。2

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所