佩亚诺公理

皮亚诺公理（Peano axioms），也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

内容皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

1是自然数；

每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a'，a'也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；

对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数；

1不是任何自然数的后继数；

任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n'也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理保证了数学归纳法的正确性）

若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。

更正式的定义如下：

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组（X,x,f）：

X是一集合，x为X中一元素，f是X到自身的映射。

x不在f的值域内。（对应上面的公理4）

f为一单射。（对应上面的公理3）

若A为X的子集并满足：

x属于A,且

若a属于A,则f（a） 亦属于A

则A=X。

正式定义可以用谓词逻辑表示如下:

戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (S, f, e)

(e ∈ S)

(∀ a ∈ S)( f(a) ∈ S )

(∀ b ∈ S)(∀ c ∈ S)(f(b) = f(c) → b = c)

(∀ a ∈ S)( f(a) ≠ e )

(∀ A ⊆ S)( ((e ∈ A) ∧ (∀ a ∈ A)(f(a) ∈ A)) → (A = S) )1

分歧关于皮亚诺公理的内容有不同版本。其中若将零视为自然数，第一个公理分别被阐述为：

1是一个自然数。

0是一个数字。

0是一个自然数。

存在一个自然数0。和“0是一个自然数”等价。2

参见自然数

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所