单模变换

单模变换是保持体积的向量空间的线性变换，取决于任意单位模矩阵的基的变换。对m×n多项式矩阵Q(s)，引入m×m单模阵R(s)和n×n单模阵T(s)，则称R(s)Q(s)，Q(s)T(s)和R(s)Q(s)T(s)为Q(s)的单模变换。单模变换在线性时不变系统复频率域理论中具有重要作用1。

定义定义1[单模矩阵] 方多项式矩阵Q(s)为单模阵当且仅当detQ(s)=c即为独立于s的非零常数。单模阵Q(s)的逆

Q-1(s)为多项式矩阵，且Q-1(s)也为单模阵。同维单模阵的乘积阵为单模阵。

定义2[单模变换] 对m×n的多项式矩阵Q(s)，设m×m的多项式矩阵R(s)和n×n的多项式矩阵T(s)为任意单模阵，则称R(s)Q(s)，Q(s)T(s)，和R(s)Q(s)T(s)为Q(s)的单模变换。

注: 在基于多项式矩阵方法的线性系统复频率域理论中，单模变换是用来简化和推证的一个基本手段2。

相关结论进而，基于初等变换属性给出如下一些有用推论，它们为单模阵和多项式矩阵单模变换提供了直观解释。

推论1[初等变换属性] 初等矩阵的乘积阵为单模阵，对矩阵Q(s)作一系列行初等变换等价于Q(s)左乘相应单模阵即相应左单模变换，对矩阵Q(s)作一系列列初等变换等价于Q(s)右乘相应单模阵即相应右单模变换。

推论2[单模变换属性] 对矩阵Q(s)左乘单模阵即左单模变换，可等价地化为对Q(s)的相应一系列行初等变换。对矩阵Q(s)右乘单模阵即右单模变换，可等价地化为对Q(s)的相应一系列列初等变换。

推论3[单模变换和初等变换关系] 矩阵Q(s)的单模变换和初等变换存在如下对应关系：

R(s)Q(s) 对Q(s)作等价一系列行初等变换；

Q(s)T(s) 对Q(s)作等价一系列列初等变换；

R(s)Q(s)T(s) 对Q(s)同时作等价一系列行和列初等变换2。

初等变换

m×n多项式矩阵Q(s)的初等变换有三种类型1。

①交换Q(s)的两行或两列。生成m×m行初等矩阵E1r和n×n列初等矩阵E1c：

E1r=对应“Q(s)交换行i和行j”为“交换Im列i和列j导出的常阵”

E1c=对应“Q(s)交换列i和列j”为“交换In行i和行j导出的常阵”

则

Q(s)在行i和行j交换后得到矩阵

Q(s)在列i和列j交换后得到矩阵

②用非零常数c∈R乘于Q(s)某行或某列。生成mxm行初等矩阵E2r和n×n列初等矩阵E2c：

E2r=对应“c乘于Q(s)行i”为“c乘于Im列i导出的矩阵”

E2c=对应“c乘于Q(s)列j”为“c乘于In行j导出的矩阵”

则

Q(s)在c乘于行i后得到矩阵

Q(s)在c乘于列j后得到矩阵

③用非零多项式d(s)∈R(s)乘于Q(s)的某行/某列所得结果加于另某行/另某列。生

成mxm行初等矩阵E3r和n×n列初等矩阵E3c：

E3r=对应“d(s)乘以Q(s)行i加于行j”为“d（s）置于Im列i和行j交点导出矩阵”

E3c=对应“d(s)乘以Q(s)列i加于列j”为“d(s)置于In行i和列j交点导出矩阵”

则 ，

Q(s)在“d(s)乘以Q(s)行i加于行j”后得到矩阵

Q(s)在“d(s)乘以Q(s)列i加于列j”后得到矩阵。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所