投影柱面

投影柱面（projecting cylinder）是指其母线通过一条给定的曲线并且都垂直于某一坐标平面的柱面。对于给定的曲线，只要它不位于垂直于某一坐标平面的平面上，就有三个投影柱面。设给定曲线的方程是F(x，y，z)=0，G(x，y，z)= 0，则这三个投影柱面的方程可分别由上述两个方程消去x，y，z得到例如球面x2+y2+z2=1与平面x+y+z=0的交线的三个投影柱面是x2+y2+xy=1/2，x2+z2+xz=1/2，y2+z2+yz=1/2。它们都是椭圆柱面1。

基本介绍设空间曲线C的方程为 过曲线C上每一点作xOy坐标面的垂线，这些垂线形成了一个母线平行于z轴且过曲线C的柱面，这个柱面称为曲线C关于xOy坐标面的投影柱面，该投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线，简称投影。

在方程组 中消去变量z得到方程 ，该方程中不含z，所以它是一个母线平行于z轴的柱面，又因为曲线C上的点的坐标满足该方程，所以曲线C上的点都在这个柱面上，方程 就是曲线C关于xOy坐标面的投影柱面方程。它与xOy坐标面的交线 就是曲线C在xOy坐标面上的投影曲线方程。

同理，若从方程组 中分别消去变量x或y，得到该曲线的投影柱面 或 ，则曲线C在yOz坐标面与xOz坐标面上的投影曲线的方程分别为 与 2。

例题分析例1 已知两球面的方程为和，求它们的交线C在xOy坐标面上的投影的方程。

**解：**先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程，将已知两球面方程相减得，再代入其中任一个方程，即得所求柱面方程为，这就是交线C关于xOy坐标面的投影柱面方程，于是，两球面的交线在xOy坐标面上的投影方程为

注意：在重积分和曲面积分的计算中，常常需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影曲线，这时要利用投影柱面和投影曲线。

例2 设一个立体由上半球面和锥面所围成(图1)，求它在xOy面上的投影。

**解：**半球面和锥面的交线为

由上列方程组消去z，得到。这是一个母线平行于z轴的圆柱面，容易看出，这恰好是交线C关于xOy面的投影柱面，因此交线C在xOy面上的投影曲线为

这是xOy面上的一个圆，于是所求立体在xOy面上的投影，就是该圆在xOy面上所围的部分：。

其他详细分析设给定一条空间曲线C和通过它的一点的一条直线L，当直线L沿曲线C平行移动所产生的曲面称为柱面(图2)，曲线C称为柱面的准线，动直线称为柱面的母线****3。

准线C是圆的柱面称为圆柱面。若母线L与准线圆所在平面垂直，这个柱面称为正圆柱面(图3)。

以下讨论母线平行于坐标轴的柱面方程。

在空间直角坐标系中，不含z坐标的方程

表示一个柱面(图4)，其母线平行于z轴，准线是xy平面上的曲线

事实上，设空间有一点在方程(1)的图形上，则有。过点作平行于z轴的直线：

L上的所有点的坐标都满足方程(1)，即直线L在方程(1)的图形上。也就是说，方程(1)的图形是由平行于z轴的直线组成的，因此它是一个母线平行z轴的柱面，准线是柱面与xy平面的交线

同理，方程分别代表母线平行x轴和y轴的柱面。一般来说，在空间直线坐标系中，一个坐标不出现的方程表示母线平行于该坐标轴的柱面。

在空间直角坐标系中，方程

都表示母线平行于z轴的柱面。由于这些柱面与xy平面的交线分别是椭圆、双曲线和抛物线，因此分别称为椭圆柱面、双曲柱面和抛****物柱面，它们统称为二次柱面(图5)。

在方程（2）中若，可得圆柱面方程3：

本词条内容贡献者为:

胡启洲 - 副教授 - 南京理工大学