数理史上的绝妙证明：费马大定理 | 贤说八道

​​撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

费马宣称自己证明了但在书边写不下证明过程的那个猜想，后来变成了费马大定理。三百多年来，费马大定理的证明吸引了大批数学家前仆后继，也产生了诸多无心插柳式的成果。如今，费马大定理算是得到了证明，但也许我们还是可以期待费马曾以为得到过的那种简明的证明。

1 费马这个人

法国人费马是科学史上的传奇人物，职业是个律师，但为世人所熟知的却是他的数学研究。对学物理的人来说，费马的名字是与光学中的费马原理联系在一起的：“光在两点间的传播所走的路径使得用时最短。”这是物理学中最小作用量原理 (least action principle，最少动作原理) 发展过程中的关键一环。作为一个业余数学家，费马是微分求极值技术的先驱，还研究过数论、解析几何和概率论等学问。费马能熟读希腊文，通晓希腊古典典籍。有人评论说费马的数学基础就是希腊典籍加上韦达的新代数方法。

 2 费马大定理

费马在阅读丢番图的《算术》一书的拉丁文译本时，认真地研究过这些丢番图方程。1637年，费马曾在第11卷第8命题旁写下了一段话：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。拉丁文原文不长，照录于此：“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.” 这意思是说，费马猜测方程 xn+yn=zn 对于n＞2 没有解，这就是所谓的费马猜想或者费马大定理[1]。有趣的是，费马写下这句话后直到28年后去世，并没有发表他宣称的证法。1667年，费马的儿子在他遗留的书本里翻到了这一句话并将之公诸于世，1670年再版《算术》一书就把费马的评论收录进去了 (图1) 。费马的评论或者猜想慢慢地也就变成了费马大定理。

图1. 法国1670年再版的丢番图《算术》一书中含费马评论的一页

 3 费马大定理的证明

费马大定理吸引了无数数学爱好者。然而，自1667年算起到20世纪90年代的三百余年间，没有数学家成功证明过这个猜想，以至于这个猜想被评为最困难的数学问题 (当然是指人人能看得懂的那类问题) 。渐渐地，人们甚至从怀疑到底费马是否曾得到过这个猜想的简洁证明到怀疑这个猜想到底是否有简洁证明。在对费马的怀疑声中，有观点认为他这么写时是确切知道自己并没有证明的，至于动机就不好说了。费马的这个行为甚至有人模仿, 后世的英国数学家哈代给丹麦数学家玻尔的明信片上就写着：“我已证明了黎曼猜想。”他的想法是，如果不幸遇到海难了，人们会从明信片内容相信他证明了黎曼猜想。即便将来黎曼猜想被别人证明出来了，也会有人认为是他首先证明了黎曼猜想。你现在在看这段文字，就表明哈代当初的策略成功了。

1994年英国数学家怀尔斯 (Andrew Wiles，1953-) 宣称证明了费马大定理。怀尔斯提交了两篇论文，Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (模形式椭圆曲线与费马大定理) 以及Ring theoretic properties of certain Hecke algebras (某些Hecke 代数的环论性质)，其中第二篇有一个合作者。这两篇文章1995年作为数学年鉴杂志的一整期发表出来，不知道几人能读懂。笔者读不懂，也就不试图介绍了。

4 多余的话

有读者肯定会有疑问，你既然也读不懂（实际上是没读过）怀尔斯关于费马大定理的证明，为什么要写下这个短篇？本篇并没有提供任何有趣的、有意义的证明。Let me tell you. 我写下这篇，是因为我对于那种动辄篇幅长达两三百页、满页非人类语言、甚至还动用计算机的数学证明，从心里不是太能够接受。这或许是由面对那些数学内容而我却无力理解所带来的挫折感所致。就费马大定理这个特定问题而言，我倾向于相信它有个简洁的证明，或者说我就是希望它有个简洁的证明，那种有美感 (aesthetic appeal) 的证明。那些费马大定理在具体某个n的情形下成立的证明之令人毛骨悚然的复杂，不是排除存在简洁证法的理由。证明的缺失可能是因为对问题在更高层面上理解的缺失。

为了那个简洁的证明，我想一定还有数学家在努力着，而我也愿意等。

注释

[1] 汉语一般称为费马大定理， 但英文的Fermat’s last theorem和法文的le dernier théorème de Fermat 一样，应该翻译成费马最后定理。法语也称 grand théorème de Fermat，这才是费马大定理。费马于1640年还提出了费马小定理，Fermat’s little theorem, le petit théorème de Fermat。这种叫法只是为了和前述定理区分，两者没有比较意义的大小之分。

建议阅读

1. Ian Stewart, David Tall，Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem，4th edition, CRC (2015).

2. Nigel Boston, The Proof of Fermat's Last Theorem, Springer (2003).

3. Harold M. Edward，Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to algebraic number theory, 3rd edition, Springer (2000).

本文摘自《惊艳一击-数学物理史上的绝妙证明》（外语教学与研究出版社，2019年8月），经授权发表。

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