《理论物理通讯》：散射振幅的最大超越度关系

来源：中国科学院理论物理研究所

散射振幅作为量子场论的核心物理量之一，是联系理论和高能实验的桥梁。其中一个前沿问题是如何有效地计算量子色动力学（QCD）的两圈乃至更高圈振幅。理论物理所的杨刚研究员和前博士后靳庆军（现任工程物理研究院副研究员）在振幅的解析计算上取得进展，发现黑格斯-胶子两圈振幅存在一些隐藏解析结构。相关论文[1]发表于《理论物理通讯》。

费曼图是计算散射振幅的重要传统方法，原则上可以应用于任意圈图的计算，但随着外线数或者圈数的增加，实际计算往往会非常复杂。历史上的一个重要突破来自于1986年，美国学者Parke和Taylor提出了含有任意多胶子的树图振幅公式[2]：

这一结果的简洁性是颇为意外的，很难用费曼图方法理解。这启示人们从全新的角度去理解振幅乃至量子场论，也诱发了近三十多年来散射振幅领域很多革命性的发展。对于N=4超对称场论等一些玩具模型，因为有特殊的对称性，现在可以计算到很高圈，甚至可以实现部分非微扰的计算（结合规范-引力对偶等思想）。另一方面，对于没有超对称的标准模型（包含QCD）等现实理论，虽然树图和单圈振幅已经可以有效计算，但两圈的计算仍是一个很困难的前沿课题，对于它们解析结构的研究就更加有限了。杨刚和靳庆军的工作在这方面取得了一些进展，表明一类特殊QCD两圈振幅的“最大超越度部分”存在超出费曼图的简单性和普适性。

在理解最大超越度之前，值得了解一下场论中振幅的一般数学结构。圈图振幅的结果可以用费曼积分来表示。一个有意思的问题是，是否任何类型的数或函数都可以出现在费曼积分的结果中呢？这个问题由德国学者Bogner和Weinzierl做出了回答，他们证明了一个定理：出现在费曼积分中的数并不是任意的，而是对应于数学中所谓的periods[3]。利用这个定理可以得知一大类常见的数学函数是不会出现在费曼积分中的，比如三角函数，指数函数，以及双log函数（如log(log(x))）等，因为它们都不是periods（感兴趣的读者可以参阅讲义[4]）

费曼积分中属于periods的一类常见函数是多重对数函数（polylogarithm）和黎曼Zeta数。多重对数函数可以定义为：

黎曼Zeta数z_n则对应于Li_{n}(x)在x=1时的取值。多重对数函数属于超越函数，并且可以定义超越度：Li_n和z_n的超越度是n。通常更简单的情形中，log函数或者π的超越度为1，有理数或有理函数的超越度为0。粗略地说，超越度表征了函数的复杂程度，而“最大”超越度部分就是函数性质最复杂、n取值最大的部分。

场论中最大超越度的特殊性是由已故俄国著名学者Lipatov和合作者最早发现的。他们通过研究算符反常量纲，发现N=4 超对称场论的结果可以通过QCD相应结果中的最大超越度部分来得到[5]。这一神秘的对应关系一般被称为“最大超越性原则”。除了反常量纲，此对应关系随后也发现成立于一些振幅中：黑格斯三胶子振幅和N=4超对称场论结果的最大超越度部分是相等的[6,7]。

在之前的研究中，这些振幅的对应关系只考虑了纯胶子外线的情形。在QCD中，除了胶子还有夸克粒子。含有夸克外线的振幅在物理上同样重要，一个自然的问题是，对于它们是否也有类似的最大超越度关系呢？这初看起来似乎不太可能，因为夸克和胶子的结构非常不同。首先，夸克是费米子，胶子是玻色子。其次，胶子和夸克的规范群表示也完全不同，胶子属于伴随（adjoint）表示，而夸克属于基础（fundamental）表示，这也直接导致二者结果在色结构上差别很大。杨刚和靳庆军通过计算黑格斯有效场论中的两圈振幅发现，只需要对色因子做一个简单的变换（CF->CA），夸克振幅和胶子振幅的最大超越度部分就完全等价。研究也发现，如果将夸克替换为标量粒子，考虑scalar-QCD理论振的幅，最大超越度部分也和QCD相等，这表明上述对应关系不依赖粒子的自旋。通过对黑格斯有效理论的算符分类，可以总结为下图的关系（这里就不进一步解释了）:

值得强调的是，这些对应关系从费曼图的角度很难理解，比如夸克和胶子、标量粒子的费曼图都有很大的不同，但最大超越度部分却是等价性的。此外，单个费曼积分的表达式往往很复杂，但求和后的结果则非常简单，比如图表中函数：

这些启发QCD振幅在两圈应该存在一些隐藏的解析结构。理解这些结构的起源、研究是否在更一般的情况成立、以及可能的应用是值得进一步探索的课题。

该工作得到了国家自然科学优秀青年基金、国家自然科学基金委重点项目、彭桓武理论物理创新研究中心、中科院前沿科学重点研究项目的支持。