道奇森数学奇遇记

如果化身成作家刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）的查尔斯·道奇森（Charles Dodgson）没有写过《爱丽丝漫游奇境记》和《爱丽丝镜中奇遇记》，他可能会作为一位先驱摄影师而被人们铭记。但让人惊奇的是，这位写出了家喻户晓的奇幻童话故事的作家，其“日常工作”是担任牛津大学基督堂学院里的数学讲师。那么，他曾研究过什么数学呢？

查尔斯·道奇森。

几何

从小，道奇森就对几何学很感兴趣。12岁时，他写了一份两页纸的笔记，内容是关于直角的三等分。

以下是他对直角三角形毕达哥拉斯定理异想天开的看法:

它仍如同被毕达哥拉斯第一次发现时一般闪耀，据说当时为了庆祝它的出现，牺牲了一百头牛来举办百牲祭。在我看来，这种向科学致敬的方法有些夸张，有些多余。即使在如今这样颓废的日子里，一个人也可以想象自己为了纪念某项伟大科学发现的新纪元，邀请一两个朋友，一起吃牛排、喝葡萄酒。但是一百头牛的百牲祭！这将会给牛肉的供应带来相当大的不便！

道奇森最崇拜的希腊作家是欧几里得。欧几里得的著作《几何原本》被称作是是继《圣经》之后印刷量最大的书籍，并成为教授几何学及训练思维的核心文本。在19世纪，仅在英国就出版了200多版。

《几何原本》前六部分的知识构成了许多大学考试的一部分。道奇森写了一些数学小册子，来向他的学生解释其中的思想。

《几何原本》是等级化的公理，大量的命题从先前的命题出发，最终能回溯到一组最初的公理和假设。道奇森用下面这样一张图表来展示书中的第一卷第47个命题（毕达哥拉斯定理）是如何依赖于之前的结果的。

然而，道奇森并非总是如此严肃认真的。他那本妙趣横生的小册子《党派斗争的动态》（The Dynamics of a Parti-cle，与“粒子动力学”只有一个连字符的差别）讽刺了1865年7月的牛津大学职位的议会选举。这本小册子在很大程度上类似于一篇形式几何的论文，其中一些对一些事物的定义也模仿了欧几里得。

欧几里得：

平面角是两条直线的倾角，这两条直线相交，但方向不同。

道奇森写道：

平白的愤怒是两个选民之间的倾向，他们聚在一起，但观点并不相同。

代数

道奇森的研究也包括代数。

一个众所周知但被道奇森坚决否认的故事是，被《爱丽丝漫游奇境记》深深迷住的维多利亚女王曾要求说：“把卡罗先生写的下一本书寄给我。”下一本书按时抵达，但题目却是《行列式及其在联立线性方程和代数几何中的应用初论》。女王为此很不高兴。

在19世纪五六十年代，行列式的理论非常流行，并在大学考试中扮演者重要的角色。不幸的是，道奇森的这本有关行列式的书却并不成功，可能是由于没有分发给重要的数学家，也可能是因为书中的术语和符号标记太过繁琐，过分正式的风格使这本书很难阅读。

然而，正是这本书，让一些在本科生阶段经常碰到的著名结果首次出现在出版物中，比如求解一组方程的解的数目的克罗内克-卡佩利定理（Kronecker–Capelli theorem）。这本书还包含了一个重要的新方法——求解大型行列式的缩合法（condensation method）。在这种方法中，用于求解大的联立方程组的大的行列式被许多小的易于计算的行列式取代。

缩合法。

逻辑

道奇森最具影响力的贡献是数学逻辑和选举理论。

在生命的后期，道奇森写了很多关于逻辑的文章，他特别喜欢将象征逻辑作为一种娱乐，来帮助儿童发展逻辑思维能力，同时也可作为成人学习的严肃课题。他早期在逻辑学方面的许多工作都与三段论有关，三段论有两句陈述作为前提，加上由此导出的结论。

三段论的历史可以追溯到公元前4世纪，亚里士多德提出：

所有人都终有一死，

苏格拉底是一个人，

所以结论是：苏格拉底终有一死。

道奇森的三段论更有意思，例如他说：

谨慎的人会避开鬣狗，

没有哪个银行家是不谨慎的，

结论：没有银行家不回避鬣狗。

没有哪个秃头的生物需要梳子，

所有蜥蜴都没有毛

结论：蜥蜴不需要梳子

道奇森相信，他的“小”朋友们可以理解符号逻辑，所以写了《逻辑游戏》一书以帮助他们弄清楚三段论。他用红色和灰色的计数器表示形式为“一些X是Y”以及“没有X是Y”的不同陈述。

然后，他把例子扩展到具有两个以上的前提，并用他的计数器帮忙整理逻辑。

例如:

爱吃鱼的小猫都是可教导的。

没有尾巴的小猫是不和大猩猩玩的。

有胡须的小猫总是喜欢吃鱼。

没有哪只可教导的小猫有绿色的眼睛。

小猫没有尾巴，除非它们有胡须。

结论：有绿眼睛的小猫不和大猩猩玩。

道奇森还提出了两个逻辑悖论，受到了许多逻辑学家和哲学家（如罗素）的赞扬。不幸的是，他还没来得及将他所有的逻辑著作出版，就突然去世了。否则，他或许会被视为介于乔治·布尔（George Boole）与罗素之间的最优秀的英国逻辑学家。

选举理论

因为学院的选举，道奇森对选举理论产生了兴趣。他一直致力于实现公平——无论对获胜者还是少数派候选人都是如此。他还设计了一些巧妙的例子来证明，为何几个被广泛使用的选举制度都存在缺陷。

以简单的多数获胜制度为例：

假设共有11名选民，4名候选人a、b、c、d。每个选民按喜好将候选人排成一列：

3个投票人认为a是最好的，其余的人认为a第二好，因此最合理的应该是让a当选。但是按照多数获胜制度，b才是赢家，因为有4个投票人认为b是最好的，哪怕有7个选民认为b最差。

道奇森还就议会选举提出了各种建议。其中一些最终获得了通过，例如他建议选举结果不应在所有投票站关闭之前公布。但还有一些建议没能获得通过，例如比例代表制的各种方法。

道奇森原本打算写一本关于投票模式的书，但这从未实现，多年后，牛津大学的哲学家Michael Dummett评论道：“道奇森没能完成他的这个写作计划实在是太大遗憾了。他的阐述如此清晰，对这一主题的把握如此娴熟，如果这样一本书能得到发表，英国的政治理论可能会大不相同。”

童话世界中的数学

在道奇森的儿童读物中，也充斥着大量的数学语言。

在《爱丽丝镜中奇遇记》中，白皇后和红皇后测试爱丽丝是否应该成为皇后：

白皇后：“你会做加法吗？1加1加1加1加1加1加1加1加1加1是多少？”

爱丽丝：“我不知道。我数不清了。”

红皇后：“她不会做加法。你会做减法吗？8减9等于多少？”

爱丽丝：“8减9，我不会，你知道，但是……”

白皇后：“她不会做减法。你会除法（division）吗？用一把刀来切割（divide）面包，答案是什么”

爱丽丝：“我想......”

爱丽丝还没说完，红皇后就抢答道：“当然是面包和黄油了。她一点算数也不会做！”

其他的例子则更为复杂，涉及到几何、逻辑和重力的思想。在《西尔维和布鲁诺终结篇》中包含一个场景，道奇森展示了如何通过将三块手帕缝成一个钱包来构建一个投影平面，这个钱包没有外面或里面，因此包它含了世界上所有的财富。

道奇森喜欢与他的小朋友和大朋友们分享数学“难题”，比如

猴子和重物的问题：

滑轮固定在屋顶上，一根绳子挂在滑轮上，绳子的一端固定着一个重物，正好抵消挂在绳子另一端的猴子的重量。假设猴子开始爬绳子，结果会怎样？

再比如多出来的方格问题：

一个正方形被分成了8×8的小方格，它被切成了如图所示的四大块。当重新重新排列这四大块时，得到的方格数却是5×13=65。那么额外多出来的方格是从哪里来的呢?

这里出现的数字5、8和13都是斐波那契数，道奇森展示了如何将这样一个悖论扩展到包含更大的斐波那契数的正方形网格中。

还有钟面的问题： 

在一个钟面上，所有的时间都是用相同的记号表示的，时针与分针的指针长度也相同。在钟的面前有一面镜子。请找出在6点和7点之间，什么时刻钟面所显示的时间与镜面所显示的时间是完全一样的。

......

你知道这些问题的答案吗？其实，道奇森还创造了许多这样的问题，他让一些普通而平凡的数学问题变得妙趣横生。同时，他将数学的思想注入文学作品中，最终让我们看到了一个独一无二的童话世界。