隐藏在连续时间世界中的离散时间

来源：原理

○ 马尔可夫过程可备用于模拟砂桩的堆积过程。| 图片来源：Santa Fe Institute Press

科学家认为时间是连续的，而不是离散的。粗略地说，也就是他们认为时间不是一段一段地前进，而是平滑且持续地流淌。因此，他们经常将物理系统的动力学建模为连续时间下的“马尔可夫过程”。

马尔可夫过程是以数学家安德雷·马尔可夫（Andrey Markov）的名字命名的。我们有时会说马尔可夫过程下的系统会随着一个主方程而演化。它描述的是满足“无记忆性”的随机过程，也就是说，在这个过程中，下一个状态出现的概率只由当前状态决定，而与时间序列中之前的事件无关。

事实上，科学家利用马尔可夫过程研究了一系列现实世界的过程，从蛋白质折叠到生态系统演化，再到金融市场转变，并取得了惊人的成功。

然而，当科学家在观察系统的状态时，只能在离散——而非连续的时间下进行观察。例如，一位股票市场分析师或许会反复观察，一天开盘时的状态与第二天开盘时的状态有什么关联，然后建立一个条件概率分布来描述在给定第一天状态的情况下，第二天的状态会是怎样的。

最近，来自圣塔·菲研究所和麻省理工学院的物理学家在《自然-通讯》和《物理学新期刊》（New Journal of Physics）上各发表了一篇论文，他们证明若要从时间连续的马尔可夫过程中产生一个“可见状态”集合的时间动态，那么事实上这个马尔可夫过程必须在更大的空间展开，在这个状态空间中不仅包含可见状态，也要包含隐藏状态。

他们进一步证明，一对时间之间的演化必须在有限数量的“隐藏时间步长”（时间步长指的是前后两个时间点之间的差值）中进行，将两个时间之间的间隔进行细分。（严格说来，只要从较早时间到较晚时间的演化是无噪声的，这个证明都是成立的。）

论文的合作者David Wolpert说：“我们想说的是动态系统中存在隐藏变量，它们暗含在科学家用来研究这些系统的工具中。此外，在某种非常有限的程度上，我们证明了尽管科学家将时间模拟成连续的，但时间是以离散的时间步长前进的。科学家或许没有注意到那些隐藏变量和那些隐藏时间步长，但它们确实存在，并且扮演着关键的幕后角色。它们不仅存在于这些科学家所读过的许多论文中，而且几乎可以肯定地说也出现在他们自己写过的论文中。”

除了发现隐藏状态和隐藏时间步长，这些科学家还发现了两者之间的权衡：隐藏状态越多，所需要的隐藏时间步长的最小数量就越小。论文合作者Artemy Kolchinsky表示：“这些结果令人惊讶，它们表明马尔可夫过程展现出了时间和内存之间的一种权衡，这种权衡经常出现在分析计算机算法这一数学领域。”

为了说明这些隐藏状态的作用，论文作者Jeremy A. Owen用了一个生物分子过程为例，每隔一个小时对它进行一次观察：如果一个蛋白质最开始处于状态a，经过一小时后它通常转变为状态b，然后再经过一小时它又回到了状态a，那么在这个过程中一定至少存在另一个状态c，它影响着蛋白质的动态，但它是隐藏的。”

事实上，研究人员是在寻找一种能在计算机中翻转一比特信息的最节能方法时，碰巧发现了隐藏状态和隐藏时间步长的必然性。那项研究是他们试图理解计算热力学这项工作的一部分，在过程中他们发现，没有直接的方法可以实现一个映射，同时将1发送到0，并且将0发送到1。相反，为了翻转一比特信息，这个位元必须经过至少一个隐藏状态，并且包含至少三个隐藏的时间步长。

○ 将一比特信息从1翻转到0的最小配置需要三个状态和三个连续的时间步长。

事实证明，任何根据输入来“计算”输出的生物或物理系统，比如细胞处理能量，或者一个生态系统的演化，都会像翻转信息位元的例子一样暗含同样的隐藏变量。Owen补充道：“这类模型确实会在自然的情况下出现，它所根据的假设是，时间是连续的，以及当前所处的状态决定了接下来要去哪里。”

Wolpert回忆说：“有一件事情让这个发现更具有普遍性，也更令我们惊讶，那就是即使不考虑热力学因素，所有这些结果仍然成立。这是一个非常纯粹的例子，它体现了安德森（Phillip Anderson）的格言‘more is different’（多而不同），因为所有这些底层细节（隐藏状态和隐藏时间步长）对高层细节（从可见的输入状态到可见的输出状态的映射）是不可见的。”

Wolpert沉思道：“这有点像是光速的极限。对绝大多数科学家来说，系统不能超过光速这一事实并不是直接的结果。但对于那些到处适用的可行过程来说，这是一种限制，而且是需要永远留存在脑海中的一件事情。”