第二次数学危机

来源：辽宁省机械工程学会自动化分会

这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：

“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。

“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。

“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。

“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。

在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。17世纪三位伟大的思想家，费马、牛顿和G.W.莱布尼茨的微积分思想不但被迅速的接受而且其思想的传播与应用迅速形成了势不可挡的时代潮流。

微积分的创立，首先是为了解决17世纪重点科学问题。1、已知物体运动的“距离——时间”函数关系求任意时刻的速度和加速度。“任一时刻”的时间间距是0，那么他的位移量也必然是0，这就出现了v=0/0的困难；2、求曲线的切线，研究成像光学不能回避的“切线、法线”如果没有理论突破，应用技术也会出现“营养不良”而不能发展；3、求函数的最大、最小值。例如，“弹道学”就必然涉及此类问题；4、求曲线的长、曲线围出的面积、曲面围出的体积、物体的重心问题。

牛顿、莱布尼茨是站在“巨人肩膀上”的求知者，我们下面大略列出他们之前的先行者的脚步：

“古代时期的现代人”希腊人阿基米德（约公元前287—前212）是古代最伟大的智者和彻底的现代派。已经能用他发明的“穷竭法”计算曲线平面图形面积和曲面所围体积；

伽利略把力学与几何学联系在一起用“相似三角形近似法”求出了如y=xn曲线的切线；

伟大的费马在计算曲线切线时已经开始涉及到了“极限思想”，并提出了具有实用价值的处理方法，并在“最值问题”上取得了部分突破；

艾萨克.巴罗（牛顿的老师）用“特征三角形相似比”的方法解决了一大类微积分问题；

开普勒（行星运动三定律的发现者）已经开始研究面积、体积、重心、曲线长问题；

卡瓦列里(伽利略的学生)提出了“点动成线，线动成面，面动成体。”的思想；

1634年，用“不可分法”罗伯勃已经能够计算多种曲线所围出的面积。

……

经过漫长的积累，牛顿从物理方面着手考察运动的速度、加速度等概念；莱布尼茨则从哲学方面的“最终微粒——单子”取道。他们共同打开了微积分的大门。他们的工作主要是凿开前人顽固的“几何脑袋”摒弃了诸如“特征三角形”的笨拙方法，采用了代数方式处理了导数与积分，完成了微积分方法从“特殊到一般”的升华；他们以深刻的洞察力发现了微分与积分是互逆运算，以此提出了“微积分基本定理”。微积分基本定理是微积分思想走向成熟的闸门，打开了这道闸门，微积分思想汇入了“人类科学理性思想”的滚滚洪流中。

由于微积分的诞生不是严格按照“逻辑线路”生成的，包括牛顿和莱布尼茨本人都对微积分的那个“微小量”的处理是否合法也产生过怀疑，很快，许多人也发现了那个“微小量”在逻辑中产生的悖论。

……

彻底解决疑问的数学家主要是柯西和魏尔斯特拉斯等人。

1821年卓越的法国数学家A.L.柯西出版了著作《分析教程》（至今仍是流行的分析学教科书之一！）中成功的用现代极限理论来说明导数的本质。他将导数明确定义如下：

“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯又用了“ε-δ”语言一举克服了“lim困难”，他将极限定义如下：

设函数f（x）在x0的某个“去心领域”内有定义，则任意给定一个ε大于0，存在一个δ大于0，使得当

时，不等式成立；

则称A是函数f（x）当x趋近于x0时的极限，记成

至此！第二次数学危机算是圆满度过。