勒贝格测度空间

取R的全体子集作为F，设其σ域F'，F'包括所有的区间，而且其中的元素都有测度L，且L是区间长度概念的自然推广，可得到勒贝格测度空间(R,F',L)，F'中的元素叫勒贝格可测集，而相应的测度L叫勒贝格测度。

简介测度空间测度空间是定义了测度的可测空间。

设(Ω,?)是可测空间，μ是?上的测度，(Ω,?,μ)称为测度空间。1

定义取R的全体子集作为F，由于F太大，没有办法将区间长度这个合适的测度概念定义在F的每个元素上。故缩小F为较小的σ域F'，使得F'包括所有的区间，而且其中的元素都有测度L，而且L是区间长度概念的自然推广，就得到所谓勒贝格测度空间(R,F',L)，F'中的元素叫勒贝格可测集，而相应的测度L叫勒贝格测度。

勒贝格测度勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。

一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，R的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

可测空间可测空间是测度的定义域，是测度论中的基本概念，在一个可测空间上可以定义不止一种测度。

设?是基本空间Ω上的σ代数，称(σ,?)为可测空间，而称?中的元素A是(σ,?)中的可测集，也称为Ω中的?可测集，简称可测集。

例如，当?是Rn中的波莱尔集类?时，(Rn,?)称为波莱尔可测空间。

当?是Rn中的勒贝格可测集类?时，(Rn,?)称为勒贝格可测空间。

辨析：可测空间中的可测集和测度无关，测度空间中的可测集和测度有关。

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学