内部代数

在抽象代数中，内部代数是采用了集合的拓扑内部概念的特定类型的代数结构。内部代数之对于拓扑和模态逻辑 S4 如同布尔代数之对于集合论和普通命题逻辑。内部代数形成了模态代数的一个簇。

定义内部代数是带有如下标识(signature)的代数结构，其中是布尔代数，后缀 l 是一元运算内部算子，它满足如下恒等式：1

xl≤x

xll=xl

(xy)l=xlyl

1l = 1

xl叫做x的内部。

内部算子的对偶是闭包算子c，定义为xc= ((x')l)'。xc叫做x的闭包。通过对偶原理，闭包算子满足如下恒等式:

xc≥x

xcc=xc

(x+y)c=xc+yc

0c= 0

如果闭包算子被选取为原始的，则内部算子可以定义为xl= ((x' )c)'。所以内部代数的理论可以使用闭包算子替代内部算子来形式化，这种情况下，考虑的是形如 的闭包代数，这里的 是布尔代数而 c 是满足上述恒等式的闭包算子。闭包代数和内部代数形成了对偶对，它们是“带有算子的布尔代数”的例证。关于这个主题(主要是波兰拓扑学)的早期文献涉及了闭包算子，但是内部算子的形式化最终成为标准。

开放和闭合元素内部代数的元素被称为开的，当且仅当xl=x，开元素的补被称为闭的并，这也等价于xc=x。显然，一个元素的内部总是开的而闭包总是闭的。

既开又闭的元素叫做闭开的。显然，0 和 1 是闭开的。

闭元素的内部称为正规开的，开元素的闭包称为正规闭的。

内部代数称为布尔的，若它的元素都是开的(因此是闭开的)。布尔内部代数可以同一于普通布尔代数，因为它们的内部和闭包算子不提供有意义的额外结构。特殊情况是平凡内部代数类，它们是特征化为恒等式 0 = 1 的单一元素的内部代数。

内部代数的态射同态内部代数作为代数结构的优点是有同态。给定两个内部代数A和B，映射f:A→B是内部代数同态，当且仅当f是底层布尔代数A和B之间的同态，它还保持内部和闭包。所以:

f(xl) =f(x)l；

f(xc) =f(x)c。

拓扑态射拓扑态射(topomorphism)是另一种重要的更一般性的在内部代数之间的态射。映射f:A→B是拓扑态射，当且仅当f是在底层布尔代数A和B上的同态，并且还保持A的开放和闭合元素。所以:

如果x在A中开放的，则f(x) 在B中是开放的；

如果x在A中闭合的，则f(x) 在B中是闭合的。

所有内部代数同态都是拓扑态射，当时不是所有拓扑态射都是内部代数同态。

元数学Gregorczyk 证明了闭包代数的基本理论的不可决定性。2

本词条内容贡献者为:

李宗秀 - 副教授 - 黑龙江财经学院