奇异吸子

奇异吸子（Strange attractor），也称奇异吸引子，是具有分形结构的吸子。当动态系统发生混沌现象时，相空间分析常出现奇异吸子；然而奇异吸子也在非混沌的情形出现。若一奇异吸子是混沌的，则其对初始条件敏感。也就是任意两个极为接近的初始点，在一定数量的迭代运算后，两者可以相距甚远；也可以再经过一定数量的迭代运算后又变得极为靠近。也因此，一个具有混沌吸子的动力系统在局域是不稳定，然而广域来看却可以是稳定的，因为这些动态点再怎么彼此分离，也都不会离开吸子。

简介奇异吸子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。奇异吸子这个词最早是由David Ruelle与Floris Takens所命名，用以描述流体系统经一连串分岔所产生的吸子结果1。奇异吸子在一些方向上常是可微的，但一些例子则如同康托尘而不可微。奇异吸子亦可在有噪声的场合出现。奇异吸子的例子包括多卷波混沌吸引子、艾侬吸子、热斯勒吸子，以及洛伦茨吸子。

特点奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于"稳定"的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于"不稳定"方向。奇异吸引子的一个著名例子是洛伦茨吸引子，它是在研究天气预报中大气对流问题的洛伦茨模型中得到的。洛伦茨吸引子由"浑然一体"的左右两簇构成，各自围绕一个不动点。当运动轨道在一个簇中由外向内绕到中心附近后，就随机地跳到另一个簇的外缘继续向内绕，然后在达到中心附近后再突然跳回到原来的那一个簇的外缘，如此构成随机性的来回盘旋。奇异吸引子具有两个主要的特点：①奇异吸引子上的运动对初始值表现出较强的敏感依赖性，在初始值上的微不足道的差异，就会导致运动轨道的截然不同。②奇异吸引子往往具有非整数维（也称分维），如2.06维、1.2365维等，常需要通过计算才能加以确定。1976年，美国物理学家M.J.费根鲍姆发现，奇异吸引子具有标度无关性。当把标尺作适当的放大后，吸引子的细节部分具有与整体相同的结构，同一种形态在越来越小的尺度上重复，其典型例子是埃农吸引子。

吸引子吸引子是微积分和系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引子。吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子。例如一个钟摆系统，它有一个平庸吸引子，这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。平庸吸引子有不动点（平衡）、极限环（周期运动）和整数维环面（概周期运动）三种模式。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子，它表现了混沌系统中非周期性，无序的系统状态，例如天气系统。例如，气候就是天气系统的奇异吸引子，由于大气过程的复杂性和不断地受太阳热量等外力的驱使，导致气候不可能被吸引到一个固定点或者一个周期性的模式中。科学家在研究混沌时常常通过编制程序和在计算机上解出基本方程而由机器把奇异吸引子画出来，并且将其物化为颜色多样和形状奇异的模式。科学家们通过对奇异吸引子的探索想搞清楚，在一个混沌系统中，什么样的状态可以存在，什么样的状态不能存在。对于吸引子，学术上并没有完善的定义，仅处于概念阶段。吸引子中的奇异吸引子对于混沌系统的研究意义重大。

洛伦茨吸引子洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨于1963年发表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。

这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对于气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。

从技术角度看来，洛伦茨振子具有非线性、三维性和确定性。2001年，沃里克·塔克尔（Warwick Tucker）证明出在一组确定的参数下，系统会表现出混沌行为，显示出人们所知的奇异吸引子。这样的奇异吸引子是豪斯多夫维数在2与3之间的分形。彼得·格拉斯伯格（Peter Grassberger）已于1983年估算出豪斯多夫维数为2.06 ± 0.01，而关联维数为2.05 ± 0.01。

此系统也会在单模激光和发电机的简化模型中出现。除此之外，闭环对流、水轮转动等物理模型也有此系统的应用。

混沌理论混沌理论（Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子）。

从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种类似随机的行为或性态。确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称动力系统（dynamical system）。典型的模型有单峰映象（logistic map）迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，陈氏吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（Y. Ueda）、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。

混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。

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李宗秀 - 副教授 - 黑龙江财经学院