可表示拟阵

可表示拟阵(representable matroid)亦称可坐标化拟阵，是一种组合构形，它是与有限域GF(q)上的矩阵拟阵M(A)有一一对应关系的拟阵M(E)，称M(A)为拟阵M(E)的表示，矩阵A为拟阵的表示矩阵1。

基本介绍定义1 设M是个拟阵，若存在某个域F，及域F上的一个矩阵A使得MMF[A]，则称M是个F-**可线性表示拟阵(F-representable matroid)，或(在不强调F的时候)称M为一个可线性表示拟阵**(representable matroid)(也常简称为F-可表示拟阵或可表示拟阵)；而矩阵A则称为M的一个F-线性表示(F-representation)(或简称为F-表示)，有时也称A为M在F上的一个坐标****化(F-coordinatization)。若存在某个图G，使得MM(G)，则称M为可图拟阵(graphicmatroid)。

例如，在完全图K4上的图拟阵M(K4)在二元域GF(2)上是可表示的；但是，均匀拟阵U2，4在二元域GF(2)上却是不可表示的，尽管它在其他域上是可表示的(见下图和下表)。可表示拟阵的对偶拟阵、子拟阵亦均为可表示的。这是可表示拟阵的优越性所在。

特别地，把能够在二元域GF(2)上表示的拟阵称为二元拟阵。均匀拟阵U2，3为二元拟阵。因为对于三元素集E={a，b，c}，其任意真子集都是U2，3的独立集，而E为相关集。相应的表示向量为α(a)=(1，0)，α(b)=(0，1)，α(c)=(1，1)。均匀拟阵U2，4却不是二元拟阵。二元拟阵包含了单模拟阵和图拟阵等重要拟阵。在拟阵的表示理论中，二元拟阵是研究较早的一类1。

相关介绍定义2对于给定的两个拟阵M₁(Z₁，)和M₂(Z₂，)，若映射：E₁→E₂满足以下的条件：

(i)：E₁→E₂是一个一一对应，

(ii)对任意子集X∈当且仅当(X)∈，

则称：E₁→E₂为从M₁到M₂的一个同构。若这样的存在，称M₁与M₂同构，记作M₁M₂。对每个拟阵M，易见全体从M到M的同构在映射的复合下构成一个群Aut(M)(称为M的自同构群)。

作为例子，如下（1），（2），若且是(1)中的矩阵而G是(2)中的图，则M[A](M(G)，其同构映射就是。

(1)考虑实数域R上的矩阵

令ai(1≤i≤4)代表A的第i个列向量的标号i，又令为A的列向量的标号集合。要确定所有独立集的集族，我们要找出所有的子集I⊆E1，使得由I中元素所标号的向量组在V(3，R)中线性无关。从线性代数中我们知道，任何一个线性无关向量组都被一个极大线性无关向量组所包含。因此我们只要找出A的列向量中的全体极大线性无关向量组。不难看出，A的全体极大线性无关向量组由E1的这些子集所标号

因此

(2)考虑图G

其边集为。我们要确定所有无圈子图的边集的集族。由于每一个无圈子图都是一个支撑树的子图，因此我们只要找出G的所有的支撑树。不难看出G的全体支撑树对应的边子集是

因此，

进一步的观察可以看出，(1)与(2)这两个例子，除了一个从矩阵出发得到，另一个从图得到以外，它们有互相对应的独立子集族，因而它们的独立结构没有什么本质的区别，为此我们有同构的定义2。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学