可数选择公理

可数选择公理，指示为ACω，是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数。保罗·寇恩证明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）中是不可证明的。

简介可数选择公理，指示为ACω，是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数。保罗·寇恩证明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）中是不可证明的。

ZF + ACω足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有无限集合都是戴德金无限的（等价的说：有可数无限的真子集）。ACω对于开发数学分析特别有用，这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数（考虑为有理数的柯西序列的集合）。

ACω是弱形式的选择公理（AC），它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个选择函数。AC明确的蕴涵了依赖选择公理（DC），而DC足够证明ACω。但是ACω要严格弱于DC（而DC严格弱于AC）。1

用法作为应用ACω的例子，下面是所有无限集合是戴德金无限的一个证明（在ZF+ACω中）：

设X是无限的。对于每个自然数n，设An是X的所有2n-元素子集的集合。因为X是无限的，每个An是非空的。对序列An应用ACω，便得到了序列（Bn:n=0,1,2,3,...)，这里的每个Bn是有2n个元素的X的子集。

集合Bn可能是相交的，但是我们可以定义

C0=B0

Cn= 是Bn与所有Cj的并集的差集，j