强紧基数

强紧基数(strongly compact cardinals)亦称紧基数，是一种大基数，一个不可数正则基数κ是紧的，如果对任何集合S，S上的每一个κ完全的滤子都扩充成S上的κ完全的超滤，每个紧基数κ都是可测的，但反之不然，即不是每个可测基数必须是紧的，故紧基数强于可测基数1。

基本介绍强紧基数是一类很“大”的大基数，若对于任何无穷基数λ，语言Lκκ都是(λ，κ)紧的，且κ>ω，则称基数κ是强紧基数，语言Lωω是(λ，ω)紧的，这儿λ是任意无穷基数，因而，强紧基数也是对无穷基数ω的某些性质进行推广而得到的，开斯勒(H.J.Keisler)和波兰学者塔尔斯基(A.Tarski)于1964年引入强紧基数的概念。

强紧基数必是可测基数，因而也必是弱紧基数，福平卡-赫巴契克于1966年证明了：若存在强紧基数，则对任何集合X，V≠L[X]，这里V是全集，L[X]是相对于X的可构造集，或说是从X出发的可构造集，以色列学者索洛韦(R.M.Solovay)于1974年用力迫法证明了：若κ是强紧基数，对于每个>κ的奇异强极限基数λ，有2λ=λ+，亦即对于一些很特殊的、很大的基数，证明了广义连续统假设是成立的2。

相关定义及定理设κ，λ为基数，κ≤λ，令

设U是Pκ(λ)上的滤子，若对每一个α∈λ，{P∈Pκλ|α∈P}∈U，则称U是精细的(Fine)。

定义1设κ为正则不可数基数，λ≥κ为任意基数，称κ为λ-强紧的充要条件为在Pκλ上存在非主的、精细的、κ-完全的超滤(或Pκλ上存在精细的测度)3。

κ称为强紧的充要条件为对所有λ≥κ，κ是λ-强紧的。

定义****2设κ为正则不可数基数，λ≥κ为任意基数，(或)为无穷语言，若对任意语句集Φ，|Φ|=λ，当Φ'⊆Φ，|Φ'|