至多可数集

至多可数集是一类特殊的集合，有限集与可数集的统称。有时称有限集为有限可数集，可数集为无限可数集，至多可数集的子集是至多可数的，至多可数个至多可数集的并集是至多可数的，在任意无限集中添入至多可数个元素后其基数不变1。

基本介绍自然数集N的基数记作 (读作“阿列夫零”),若A~N,则称A为可数集。有限集与可数集统称为至多可数集，即能够与自然数集N的某一子集构成一一对应的集，亦即基数不超过 的集。至多可数个至多可数集的和集是至多可数集；有限个至多可数集的直积也是至多可数集。若无限集E不是可数集，则称E为不可数集。

集合A为可数集当且仅当A= { },即A中的元可以用自然数来编号2。

相关定理定理1 任一无限集E必含一个可数子集。

上述定理说明:在无限集的基数中,最小的基数是 .

定理2 N×N是可数集。

不难知道:若A,B是可数集,则直积集A×B也是可数集.一般地,用归纳法可以证明:若每个Ek(k=1,2,3,...,n)是可数集,则直积集E1×E2×...×En也是可数集.

定理3 若每个An(n=1,2,3,...)是可数集,则并集也是可数集。

上述定理也常称为:可数个可数集之并是可数集。

另外不难证明:若有至多可数个集作并集，且每个集合都是至多可数集，则其并集也是至多可数集。

推论4 R1中的有理数集Q是可数集，Rn中的有理点集Qn是可数集。

定理5 若E为无限集,A为至多可数集,则E~E∪A。

证 不妨设E∩A=∅,由定理1,知无限集E有可数子集D.因为A为至多可数集,于是有D~A∪D。于是：

E=(E\D)∪D~(E\D)∪(D∪A)=EUA.

推论6 设E为不可数集,A是E的可数子集，则E~E\A。

证 首先易知E\A不是有限集,因为否则E=(E\A)∪A要为可数集,得矛盾.所以E\A必为无限集,而A是可数集,所以由定理5知E\A~(E\A)∪A=E2。

例题解析例1设Γ是R1中的一族开区间,若每个开区间的端点为有理数，则Γ是至多可数集。

证对Γ中的开区间(a,b)，令Q×Q中的点(a,b)与之对应，得到从Γ到Q×Q的一个单射，所以，从而可得Γ是至多可数集。

例2 设Γ是R1中的一族开区间，若其中任意两个开区间互不相交，则Γ是至多可数集。

证 对Γ中的每个开区间I，取定I中的一个有理数作为f(I)，则f:Γ→Q是一个单射,所以，从而可得Γ是至多可数集2。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学