布尔格

在数学中，布尔格是与布尔代数有密切关系的一类格，一个有补分配格称为布尔格，由一个布尔格〈L，≤〉可以诱导出一个布尔代数〈L，·，+，′，0，1〉，在布尔格〈L，≤〉中可以定义出两个二元运算·，+：a·b=inf{a，b}，a+b=sup{a，b}，由于布尔格是有界格，因此它必有最大元和最小元，分别记为1和0，且有a·1=a，a+0=a，由于布尔格是有补格，故对任意元素a∈L，存在元素a′∈L，使得a·a′=0， a+a′=1，又由于布尔格是分配格，即有a·(b+c)=(a·b)+(a·c)，a+(b·c)=(a+b)·(a+c)，故〈L，·，+，′，0，1〉是由〈L，≤〉诱导出的布尔代数1。

布尔格还指城镇名。在今法国东部，临雷苏兹河。公元11世纪建为集市。1250年获特许状。15世纪初成为布雷斯省最大城市。今为安省省会。市内存有哥特式布鲁教堂和16世纪建的圣母教堂2。

基本介绍布尔格是布尔代数的等价概念，布尔(G.Boole)研究命题演算时发现的，也是最早研究的格，有补的分配格称为布尔格，若布尔格仅含一个元素，则称为平凡布尔格，亨廷顿(E.V.Huntington)把布尔格表征为每一元a都有惟一的补元a′，且满足(a∧b)′=a′∨b′和(a∨b)′=a′∧b′的格，若在布尔格(B；∧，∨)中把取补记成一元运算“′”，把0，1看做两个零元运算，则(B；∧，∨)就成为布尔代数(B;∧，∨，′，0，1)；反之，若在布尔代数中把二元运算∧，∨看成是格运算，把一元运算“′”看成是格中的元取补元时，它就成为布尔格.因而常把布尔格与布尔代数等同起来3。

定义有补分配(complemented distributive)格定义

设是一个有界格，如果A既是有补格，又是分配格，那么A被称为有补分配格4。

定理 设是一个有补分配格，A上每个元素都有唯一补元。

证明 有补格一定存在全上界1，和全下界0。有补格的每个元素至少有一个补元，因为格又是分配格，所以每个元素的补元唯一。

有补分配格上，每个元素的补元存在且唯一，此时元素x的补元可记为。

布尔格(Boolean lattice)定义

若是有补分配格，则称其为布尔格。

布尔代数(Boolean algebra)定义

设是一布尔格，将对A上每个元素的求补看成一元补运算“﹣”，则布尔格可记为，并称为布尔代数。

原子(atom)定义

设是有界格，

A上盖住全下界0的元素被称为A上的原子。

A上被全上界1盖住的元素被称为A上的反原子。

布尔格是有界格，任何布尔格A，|A|>2。必存在正原子和反原子。一般称正原子为原子。全上界1和全下界0不是原子4。

相关定理定理1 设是任意布尔格，那么，

以下十大定律成立4：

对合律：

幂等律：a∨a=a

交换律：a∨b=b∨a

结合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)

分配律：a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)

吸收律：a∧(a∨b)=a

同一律：a∨0=a

零律：a∨1=1

互补律：a∨=1

De.Morgan律：

定理2 设是一布尔格，任意原子a∈A，与另一个非零元素b∈A之间，必有且仅有a≤b或a≤6两者之一成立4。

定理3 设是一有限布尔格，b∈A是任意一个非0元素，至少存在一个原子a∈A，使a与b同在一条链上4。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学