线性跟车模型

跟车模型反映的是跟随车辆的驾驶员在获得前导车的有关信息后所做出的刺激反应行为。驾驶员的刺激反应行为是指其为了跟踪前车所作的加速或减速动作而做出的反应。影响驾驶员反应行为的因素较多，其中最主要的为前后车的速度差、前后车的距离、跟随车的当前速度及其驾驶员的冒进程度等。

线性跟车模型建模的出发点是跟随车保持与前车一定距离以避免前车刹车时与之相撞。虽然经典线性跟车模型考虑了后车驾驶员的感觉和反应时间，但车辆本身的动力特性的差异被忽略了。显然易见，不同类型的车辆在不同车速状态下，其最大的加速度与最大减速度是相异的。

模型的建立跟车模型是一种刺激—反应问题。一个司机所接受的刺激是指其前方导引车的加速或减速以及随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的变化；该司机对刺激的反应是指其为了紧密而又安全地跟踪前车所作的加速或减速动作及其实际效果。

假定司机保持他所驾驶的车辆与前导车的距离为是s（t），以便在前导车刹车时能将车停下而不致于和前导车尾撞。设司机的反应时间为T，在反应时间内，车速不变。这两辆车在t时刻的相对位置用下图（a）表示，图中n为前导车，n+1为后随车。 两车在刹车操作后的相对位置用图（b）表示。图中： ·

xi（t）——第i辆车在时刻t的位置；

s（t）——两车在时刻t的间距=xn（t）-xn+1（t）；

d1——后随车在反应时间T内行驶的距离=Tˊxn+1（t）=Tˊxn+1（t+T）；

d2——后随车在减速期间行驶的距离；

d3——前导车在减速期间行驶的距离；

L——停车后的车头间距；

xˊi（t）——第i辆车在时刻t的速度。

假定d2=d3，要使在时刻‘两车的间距能保证在突然刹车事件中不发生撞碰，则应有

s（t）=d1+L=Tˊxn+1（t+T）+L

对t微分，得

xˊn（t）-xˊn+1（t）=Tˊˊxn+1（t+T）

或xˊˊn+1（t+T）=1/T[xˊn（t）-xˊn+1（t）] 式1

上式中：xˊˊn+1（t+T）为后车在时刻（t+T）的加速度，称为后车的反应；1/T称为敏感度；xˊn（t）-xˊn+1（t）称为时刻t的刺激。这样，式1就可理解为

反应=敏感度 × 刺激

式1是在前导车刹车、两车的减速距离相等以及后车在反应时间r内速度不变等三条假定下推导出来的。实际的跟车操作要比这三条假定所限定的情形复杂得多。比方说，刺激也可能是由前车加速而引起的，而两车在变速过程中行驶的距离可能不相等。为了适应更一般的情形，把式1修改为

xˊˊn+1（t+T）=α[xˊn（t）-xˊn+1（t）] 式2

式中：α称为反应强度系数，量纲为秒-1。这里α不应再理解为敏感度，而应看成是与司机动作的强弱程度直接相关。式2表明后车的反应与前车发出的刺激成正比，此公式称为线性跟车模型。1

模型的稳定性在考察车辆跟驶特性时，一车队车辆的稳定性问题是很重要的。这里的所谓稳定性有两个意思：一是指前后两车的速度大致相等，车间距离大体保持某一常数值，这称为局部稳定；另一是指某车的速度变化向其后各车传播的特性，如速度变化的振幅在传播中扩大了，叫做不稳定，如振幅逐渐衰减，则叫稳定。这种情形称为渐近稳定。

上式是一个复杂的二阶微分方程， 求解需刚拉普拉斯变换。海尔曼得出的结果是用c=αT取值的大小来表征稳定性。 这里的α即为式中的反应强度系数，T为反应时间。海尔曼的结果如下：

（1）局部稳定性

下表图列出了不同的c值所对应的两车间距的摆动情况。从中可以看出，随着c值的增加，车间距逐渐地成为不稳定。这是由于，如果对早就出现的刺激（反应时间T长）反应太强烈（α大，表现在油门过大，或脚刹车踏得过重），使情况可能会偏向错误的方向。

（2）渐近稳定

海尔曼的结果指山，一列行驶车辆仪当c0.5时，将以增大波动幅度传播，因而增大了车辆间的干扰，当干扰的幅度增加到使车头间距小于一个车长时，则尾撞事故即将发生。

右图表示一列有8辆车的车队在不同c值时的车头间距。车辆间原来的间距为21米，当引导车减速后又加速至原来的速度时，图上的曲线表示变动沿各车向后传播的情形。1

跟车模型与车流模型车流模型是指在稳定的车流中，流量、车速和密度之间的相依关系。从跟车模型出发，可推导出各种车速—密度关系，方法是根据边界条件解微分方程。

现用线性跟车模型推导车流模型。

积分式可得：

xˊn+1（t+T）=α[xn（t）-xn+1（t）]+c

车队处于平稳状态时，xˊn+1（t+T）=xˊn+1（t+），因此对任何t，上式都可化为

u =αs+c式3

令k =1/s，则k就是车流密度。利用边界条许，可确定α和c。当u=0时，车队的密度为拥塞密度ki，于是式3可写成

u =α（1/k-1/ki） 式4

既然在跟车状态下车辆的行驶是密度较高的非自由状态，因此山线性跟车模型推导出来的车流模型式4，只适用于高密度情形。事实上，在式4中令众k→0，则车速u趋向于无穷大，这是不合理的。向样，在式中，流量在密度等于零寸达到最大值，也是不符合实际的。这是线性跟车模型的缺陷所在。

线性眼车模型的上述缺陷，究其根源在于它假定后随车的跟驶反应只依赖刁：它与前导车的速度差，而与两车的间距及后随车本身的速度夫关。实际的情形表明，在一定的车速下，两车的间距愈近，尾撞的潜在危险愈大，同时后随车对前导车的速度变化的感知也愈快，因而反应愈加迅速和强烈。另一方面，后随车本身的速度愈高，一旦发生尾撞的后果就愈严重，因而反应必须愈迅速和愈有效。

上式是跟车模型的最一般的形式，令参数m和I取各种不同的组合，积分后可导出各种不同的车流模型，其中包括历史-亡不同研究者按其它不同方法提出的许多车流模型。下图表列出了这些模型中常用的一部分。1

跟车理论的应用1）描述车流的稳定性，由反应时间、灵敏度、前后两车的车头间距及前车速度等已知条件，列出跟车模型方程并求解，分析计算结果，根据跟随车流的速度与车头间距的变化情况来描述车流的稳定性。

2）依据跟车理论可寻求车辆跟车运动的规律，估计车流中前、后车之间的相互影响。为了维持与行车速度相适应的车头间距，而不致过小，交通管理中可根据道路交通环境和气候条件，控制车流量不超过规定的交通量，避免因流量过大，后车紧迫前车，形成追随间隔缩小，造成一连串的尾撞事故的发生。在交通规划与交通管理中，可以此作为依据进行流量分配，使路网交通量的分布，不超过规定的交通量数值。

3）依据跟车理论，在道路交通管理中设法使前车给后车驾驶员提供较多的信息，如提供车头间距、相对速度等信息，以减少反应时间，帮助驾驶员跟随车辆安全行驶，防止尾撞事故的发生。

4）通过计算机模拟车队的跟车状态，研究车辆跟车运行中的安全性。若能将道路交通系统中的驾驶员反应时间、车头间距和相对速度的临界值三个参数减至最少，便可增强驾驶员的感觉，缩短驾驶员反应的延滞时间，以减少交通事故。

5）通过跟车理论可分析公共汽车的单车道流量。跟车试验的稳定性分析表明：所有的数据点都在渐近稳定区内，且验证了公共汽车跟车模型的预测；平均速度为53km/h，测出的公共汽车最大流量为1450veh/h。
通过跟车模型试验可预测小型汽车，驶入市区环路、干路的车流对市内交通的影响。

6）由跟车模型的一般形式，当参数m和l取各种不同的组合时，经积分确定边界条件，推导出各种不同的交通流模型。2

本词条内容贡献者为:

程鹏 - 副教授 - 西南大学